Какую дистанцию преодолела баржа, двигаясь по течению реки, и вернувшись обратно, если на это потратила 5 часов

Elisey

41

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \).

Пусть \( v \) - скорость баржи в км/ч, тогда скорость баржи относительно стоячей воды будет \( v - 5 \) км/ч (так как скорость течения реки составляет 5 км/ч).

Таким образом, время, затраченное баржей на движение по течению реки, равно расстоянию, поделенному на скорость движения баржи по течению:

\[ \text{время вперед} = \frac{\text{расстояние вперед}}{v - 5} \]

И время, затраченное баржей на движение против течения реки, также равно расстоянию, поделенному на скорость движения баржи против течения:

\[ \text{время назад} = \frac{\text{расстояние назад}}{v + 5} \]

Задача говорит нам, что суммарное время движения составляет 5 часов:

\[ \text{время вперед} + \text{время назад} = 5 \]

Теперь мы можем составить уравнение и решить его:

\[ \frac{\text{расстояние вперед}}{v - 5} + \frac{\text{расстояние назад}}{v + 5} = 5 \]

Для удобства введем дополнительное обозначение \( d \) для расстояния:

\[ \frac{d}{v - 5} + \frac{d}{v + 5} = 5 \]

Теперь можем решить это уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((v - 5)(v + 5)\):

\[ d(v + 5) + d(v - 5) = 5(v - 5)(v + 5) \]

Раскроем скобки:

\[ dv + 5d + dv - 5d = 5(v^2 - 25) \]

Сгруппируем одинаковые слагаемые:

\[ 2dv = 5v^2 - 125 \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ 5v^2 - 2dv - 125 = 0 \]

Здесь возникает проблема, так как у нас две неизвестные - \( v \) и \( d \). Но мы можем заметить, что задача не требует найти конкретные значения скорости и расстояния, а лишь их отношение. Поэтому мы можем предположить, что расстояние \( d \) равно 1 (это не важно, так как мы ищем отношение). Тогда уравнение примет вид:

\[ 5v^2 - 2v - 125 = 0 \]

Мы можем решить это квадратное уравнение для \( v \). Для этого воспользуемся формулой квадратного корня:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Следовательно,

\[ v = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-125)}}{2 \cdot 5} \]

Упростим выражение:

\[ v = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2500}}{10} \]

\[ v = \frac{2 \pm \sqrt{2504}}{10} \]

\[ v \approx \frac{2 \pm 50.04}{10} \]

Получаем два возможных значения для скорости:

\[ v_1 \approx \frac{2 + 50.04}{10} \approx 5.404 \]

\[ v_2 \approx \frac{2 - 50.04}{10} \approx -4.804 \]

Мы видим, что одно из значений получилось отрицательным. В данной задаче мы ищем скорость, которая является физически реальной величиной, поэтому отрицательный результат не подходит. Следовательно, скорость баржи \( v \approx 5.404 \) км/ч.

Теперь мы можем найти расстояние, которое преодолела баржа, двигаясь по течению реки, и вернувшись обратно. Для этого мы можем использовать любое из двух уравнений:

\[ \text{расстояние вперед} = (v - 5) \cdot \text{время вперед} \]
или
\[ \text{расстояние назад} = (v + 5) \cdot \text{время назад} \]

Мы используем первое уравнение:

\[ \text{расстояние вперед} = (5.404 - 5) \cdot \frac{d}{5.404 - 5} = (0.404) \cdot d \]

\[ \text{расстояние вперед} = 0.404 \cdot 1 \approx 0.404 \text{ км} \]

Таким образом, баржа преодолела примерно 0.404 км по течению реки и вернулась обратно.