Какую долю площади треугольника АВС занимает четырёхугольник ВЕOК, если точки Е и К на сторонах АВ и ВС треугольника

Lapulya

34

Чтобы найти долю площади треугольника АВС, которую занимает четырёхугольник ВЕОК, нам понадобится использовать отношение длин отрезков АЕ : ЕВ и ВК : КС.

По условию, дано, что АЕ : ЕВ = ВК : КС = 1 : 2. Это означает, что отрезок АЕ составляет треть отрезка АВ, а отрезок ВК составляет две трети отрезка ВС.

Мы можем использовать это отношение для нахождения отношения площадей треугольников АЕК и АВК. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника АЕК.
Поскольку отрезок АЕ составляет треть отрезка АВ, то треугольник АЕК составляет треть от площади треугольника АВС. Обозначим площадь треугольника АВС как S. Тогда площадь треугольника АЕК равна \(\frac{1}{3}S\).

Шаг 2: Найдем площадь треугольника ВКС.
Поскольку отрезок ВК составляет две трети отрезка ВС, то треугольник ВКС составляет две трети от площади треугольника АВС. Так как площадь треугольника АВС обозначена как S, то площадь треугольника ВКС равна \(\frac{2}{3}S\).

Шаг 3: Найдем площадь четырёхугольника ВЕОК.
Так как мы знаем, что площадь треугольника АВС равна S, а площади треугольников АЕК и ВКС равны, соответственно, \(\frac{1}{3}S\) и \(\frac{2}{3}S\), то площадь четырёхугольника ВЕОК можно найти путем вычитания площадей треугольников АЕК и ВКС из площади треугольника АВС:
\[S_{ВЕОК} = S - S_{АЕК} - S_{ВКС}\]
\[S_{ВЕОК} = S - \frac{1}{3}S - \frac{2}{3}S\]
\[S_{ВЕОК} = \frac{3}{3}S - \frac{1}{3}S - \frac{2}{3}S\]
\[S_{ВЕОК} = \frac{3S - S - 2S}{3}\]
\[S_{ВЕОК} = \frac{0S}{3}\]
\[S_{ВЕОК} = 0\]

После всех вычислений мы получили площадь четырёхугольника ВЕОК равную 0. Это означает, что четырёхугольник ВЕОК не занимает никакой площади треугольника АВС.