Какую максимальную скорость мог развить отважный мальчик, съезжая с горы на санках вниз по склону с углом наклона

Yakorica

22

Данная задача требует вычисления максимальной скорости, которую мог развить мальчик, съезжая с горы на санках. Для нахождения этой скорости, мы будем учитывать несколько факторов - угол наклона склона горы, массу мальчика с санками, коэффициент трения полозьев санок о снег и силу сопротивления воздуха.

Перед тем, как приступить к решению задачи, важно привести все известные данные в нужные нам единицы измерения. Так как угол наклона склона задан в градусах, то для удобства дальнейших вычислений переведем его в радианы. У нас дан угол наклона 45°, следовательно, он равен \(\frac{\pi}{4}\) радиан.

Теперь рассмотрим силы, действующие на мальчика. Во-первых, у нас есть сила гравитации, которая тянет мальчика вниз по склону горы. Эта сила равна \(F_{\text{гр}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta)\), где \(m\) - масса мальчика с санками (63 кг), \(g\) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²), \(\theta\) - угол наклона склона горы (\(\frac{\pi}{4}\) рад).

Во-вторых, существует сила трения между полозьями санок и снегом. Данная сила равна \(F_{\text{тр}} = \mu \cdot N\), где \(\mu\) - коэффициент трения (0,1), а \(N\) - нормальная сила, равная \(N = m \cdot g \cdot \cos(\theta)\).

В-третьих, это сила сопротивления воздуха. Она пропорциональна квадрату скорости и равна \(F_{\text{возд}} = k \cdot v^2\), где \(k\) - коэффициент, равный 0,9 кг/м, \(v\) - скорость мальчика на санках.

Максимальная скорость будет достигаться, когда сумма сил гравитации, трения и сопротивления воздуха будет равна нулю, то есть \(F_{\text{гр}} + F_{\text{тр}} + F_{\text{возд}} = 0\).

Для нахождения этой скорости, мы можем решить уравнение: \(m \cdot g \cdot \sin(\theta) + \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) + k \cdot v^2 = 0\).

Учитывая все известные значения и выражения, подставим их в уравнение:

\[63 \cdot 9,8 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 0,1 \cdot 63 \cdot 9,8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 0,9 \cdot v^2 = 0.\]

Совершим несколько вычислений:

\[63 \cdot 9,8 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 0,1 \cdot 63 \cdot 9,8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 0,9 \cdot v^2 = 0,\]
\[441 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0,1 \cdot 441 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0,9 \cdot v^2 = 0,\]
\[441\sqrt{2} + 0,1 \cdot 441\sqrt{2} + 0,9 \cdot v^2 = 0.\]

Упростим это уравнение:

\[441\sqrt{2} + 0,1 \cdot 441\sqrt{2} + 0,9 \cdot v^2 = 0,\]
\[441\sqrt{2}(1 + 0,1) + 0,9 \cdot v^2 = 0,\]
\[441\sqrt{2}\cdot1,1 + 0,9 \cdot v^2 = 0,\]
\[v^2 = -\frac{441\sqrt{2}\cdot1,1}{0,9},\]
\[v^2 \approx 5483,89.\]

Теперь найдем максимальную скорость \(v\):

\[v \approx \sqrt{5483,89} \approx 73,98 \, \text{м/с}.\]

Для перевода этой скорости в км/ч, нам нужно умножить ее на коэффициент пересчета. 1 м/с равно 3,6 км/ч. Таким образом, максимальная скорость, которую мог развить мальчик на санках, составляет:

\[v = 73,98 \cdot 3,6 \approx 266,33 \, \text{км/ч}.\]

Округлив ответ до целого значения, получаем, что максимальная скорость мальчика составляет около 266 км/ч.