Какую область определения и множество значений имеет функция f (x) = - x²+4x+6?

Lesnoy_Duh

47

Для того чтобы найти область определения и множество значений функции \(f(x) = -x^2 + 4x + 6\), нужно учесть несколько важных моментов.

1. Область определения функции определяется всеми значениями \(x\), для которых функция является определенной. В данном случае функция \(f(x)\) представляет собой квадратичную функцию вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты. Из этого следует, что квадратичная функция будет определена при любом значении \(x\) в действительных числах.

2. Чтобы найти множество значений функции \(f(x)\), нужно найти все возможные значения \(y\), которые соответствуют различным значениям \(x\). Для этого можно воспользоваться графиком функции или применить метод завершения квадрата.

Давайте найдем вершину параболы, чтобы определить максимальное или минимальное значение функции \(f(x)\). Для этого воспользуемся формулой \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В нашем случае:

\(a = -1\) и \(b = 4\).

\(x = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2\).

Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке \(x = 2\). Теперь мы можем найти соответствующее значение \(y\) при \(x = 2\) подставив значение \(x\) в функцию \(f(x)\):

\(f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 + 6\).

\(f(2) = -4 + 8 + 6 = 10\).

Таким образом, максимальное (или минимальное) значение функции \(f(x)\) равно 10.

Область определения функции \(f(x)\) равна множеству всех действительных чисел (-∞, +∞), так как квадратичная функция определена при любом значении \(x\).

Множество значений функции \(f(x)\) равно интервалу (-∞, 10], так как максимальное значение функции равно 10 и функция не может принимать значения больше 10.

В итоге, область определения функции \(f(x)\) - это все действительные числа, а множество значений - интервал (-∞, 10].