Какую область значений имеет функция с уравнением y=7/6x^2+2x?

Сквозь_Космос_3033

2

Для того чтобы определить область значений функции y в уравнении $y=\frac{7}{6}{x}^2+2x$, мы должны понять, какие значения может принимать y при различных значениях x.

Данное уравнение представляет собой параболу вида $y=a{x}^2+bx+c$, где a, b и c - коэффициенты. В нашем случае, a = $\frac{7}{6}$, b = 2, а c = 0 (поскольку нет слагаемого без переменной x).

Для определения области значений функции, нам нужно знать, с какими значениями переменной x мы имеем дело и какое значение y получаем.

В нашем случае функция является параболой с положительным коэффициентом a ($\frac{7}{6}$), что означает, что парабола открывается вверх. Это означает, что наименьшее значение y представлено вершиной параболы, а все последующие значения y увеличиваются по мере удаления от вершины.

Чтобы найти вершину параболы, мы используем формулу $x=-\frac{b}{2a}$. В нашем случае, $x=-\frac{2}{2\cdot \frac{7}{6}}=-\frac{2}{\frac{7}{3}}=-\frac{6}{7}$.

Подставив это значение в уравнение, мы можем найти значение y: $y=\frac{7}{6}\cdot {(-\frac{6}{7})}^2+2\cdot (-\frac{6}{7})$.

После вычислений получаем $y=\frac{7}{6}\cdot \frac{36}{49}-\frac{12}{7}=\frac{36}{42}-\frac{72}{42}=-\frac{36}{42}=-\frac{6}{7}$.

Таким образом, наша вершина параболы находится в точке $(-\frac{6}{7},-\frac{6}{7})$.

Исходя из этой информации, мы видим, что функция имеет область значений, начиная от вершины параболы и движется в верхнем направлении. Это означает, что все значения y будут больше или равны $-\frac{6}{7}$.

Таким образом, область значений функции $y=\frac{7}{6}{x}^2+2x$ - это множество всех значений, больших или равных $-\frac{6}{7}$, или в математической записи:

$$y\ge -\frac{6}{7}$$

Для лучшего понимания, рассмотрим примеры. Если мы возьмём x = 1, получим:

$$y=\frac{7}{6}\cdot 1^2+2\cdot 1=\frac{7}{6}+2=\frac{19}{6}.$$

Если мы возьмём x = -2, получим:

$$y=\frac{7}{6}\cdot (-2{)}^2+2\cdot (-2)=\frac{28}{6}-\frac{12}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.$$

Таким образом, мы видим, что значения функции y находятся выше или равны $-\frac{6}{7}$, и могут быть любыми положительными числами или нулем.