Какую область значений имеет функция с уравнением y=7/6x^2+2x?

Сквозь_Космос_3033

2

Для того чтобы определить область значений функции y в уравнении \(y = \frac{7}{6}x^2 + 2x\), мы должны понять, какие значения может принимать y при различных значениях x.

Данное уравнение представляет собой параболу вида \(y = ax^2 + bx + c\), где a, b и c - коэффициенты. В нашем случае, a = \(\frac{7}{6}\), b = 2, а c = 0 (поскольку нет слагаемого без переменной x).

Для определения области значений функции, нам нужно знать, с какими значениями переменной x мы имеем дело и какое значение y получаем.

В нашем случае функция является параболой с положительным коэффициентом a (\(\frac{7}{6}\)), что означает, что парабола открывается вверх. Это означает, что наименьшее значение y представлено вершиной параболы, а все последующие значения y увеличиваются по мере удаления от вершины.

Чтобы найти вершину параболы, мы используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае, \(x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{7}{6}} = -\frac{2}{\frac{7}{3}} = -\frac{6}{7}\).

Подставив это значение в уравнение, мы можем найти значение y: \(y = \frac{7}{6} \cdot \left(-\frac{6}{7}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right)\).

После вычислений получаем \(y = \frac{7}{6} \cdot \frac{36}{49} - \frac{12}{7} = \frac{36}{42} - \frac{72}{42} = -\frac{36}{42} = -\frac{6}{7}\).

Таким образом, наша вершина параболы находится в точке \(\left(-\frac{6}{7}, -\frac{6}{7}\right)\).

Исходя из этой информации, мы видим, что функция имеет область значений, начиная от вершины параболы и движется в верхнем направлении. Это означает, что все значения y будут больше или равны \(-\frac{6}{7}\).

Таким образом, область значений функции \(y = \frac{7}{6}x^2 + 2x\) - это множество всех значений, больших или равных \(-\frac{6}{7}\), или в математической записи:

\[y \geq -\frac{6}{7}\]

Для лучшего понимания, рассмотрим примеры. Если мы возьмём x = 1, получим:

\[y = \frac{7}{6} \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = \frac{7}{6} + 2 = \frac{19}{6}.\]

Если мы возьмём x = -2, получим:

\[y = \frac{7}{6} \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = \frac{28}{6} - \frac{12}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.\]

Таким образом, мы видим, что значения функции y находятся выше или равны \(-\frac{6}{7}\), и могут быть любыми положительными числами или нулем.