Яким буде діапазон значень у функції у=17х/3х^2+14х-5​?

Vesenniy_Sad_425

12

Чтобы найти диапазон значений функции \(y = \frac{17x}{3x^2 + 14x - 5}\), мы должны установить, какие значения \(y\) может принимать при различных значениях \(x\). Для этого проведем анализ функции шаг за шагом.

1. Найдем область определения функции. Областью определения будет множество всех действительных чисел \(x\), за исключением значений, при которых знаменатель равен нулю. Заметим, что знаменатель \(3x^2 + 14x - 5\) является квадратным трехчленом. Чтобы найти его корни, воспользуемся квадратным уравнением или дискриминантом.

2. Найдем корни квадратного трехчлена \(3x^2 + 14x - 5\). Для этого воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулой корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного трехчлена. В нашем случае \(a = 3\), \(b = 14\) и \(c = -5\). Подставляя значения в формулу, получим:

\[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256\]

Значение дискриминанта \(D\) положительное, что означает, что у нас есть два различных корня.

\[x_{1, 2} = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 16}{6}\]

Таким образом, корни данного квадратного трехчлена равны \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -\frac{5}{3}\).

3. Исследуем поведение функции вне области определения. Нам известно, что функция является рациональной, и рациональные функции могут иметь вертикальные асимптоты. Определение вертикальной асимптоты можно найти, приравнивая знаменатель к нулю и решая полученное уравнение:

\(3x^2 + 14x - 5 = 0\)

Как мы уже нашли ранее, корни этого уравнения равны \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -\frac{5}{3}\). Таким образом, функция может иметь вертикальные асимптоты в точках \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = -\frac{5}{3}\).

4. Теперь определим диапазон значений функции. Для этого мы можем провести анализ знаков функции в различных интервалах, разбивая прямую на три части, исходя из корней и вертикальных асимптот.

- При \(x < -\frac{5}{3}\) функция находится слева от вертикальной асимптоты и обращается в отрицательное бесконечность.
- В интервале \(-\frac{5}{3} < x < \frac{1}{3}\) функция положительна и стремится к бесконечности при \(x\) приближающемся к вертикальной асимптоте \(x = -\frac{5}{3}\).
- В интервале \(x > \frac{1}{3}\) функция положительна и стремится к нулю при \(x\) стремящемся к положительной бесконечности.

Таким образом, диапазон значений функции \(y = \frac{17x}{3x^2 + 14x - 5}\) будет \(y \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\). Это означает, что функция может принимать любые положительные или отрицательные значения, кроме нуля.