Какую площадь полной поверхности прямой призмы нужно найти, если основание призмы является прямоугольным треугольником

Карнавальный_Клоун_4701

16

Задача заключается в нахождении площади полной поверхности прямой призмы. Для этого нам дано, что основание призмы представляет собой прямоугольный треугольник с катетом длиной 6 см и углом наклона 45°. Кроме того, объем призмы равен 108 см³.

Чтобы решить эту задачу, мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем высоту призмы.
Так как объем призмы равен 108 см³, мы можем использовать формулу для нахождения объема призмы:
\[V = S \cdot h,\]
где \(V\) - объем призмы, \(S\) - площадь основания призмы, а \(h\) - высота призмы.

В нашем случае, объем призмы равен 108 см³, а площадь основания призмы (\(S\)) - это площадь прямоугольного треугольника, которая вычисляется по формуле:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]
где \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

У нас дан один катет прямоугольного треугольника, его длина составляет 6 см. Чтобы найти второй катет, мы можем использовать теорему Пифагора, так как данный треугольник является прямоугольным:
\[c^2 = a^2 + b^2,\]
где \(c\) - гипотенуза треугольника.

Поскольку у нас известны катеты (\(a\)) и (\(b\)), мы можем найти гипотенузу:
\[c^2 = 6^2 + b^2.\]
Учитывая, что угол наклона треугольника составляет 45°, то \(a = b\) и \(c = 6\sqrt{2}\).

Теперь мы можем найти площадь основания призмы:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \, \text{см}^2.\]

Теперь, когда у нас есть значение объема (\(V\)) и площади основания (\(S\)), мы можем найти высоту (\(h\)):
\[108 = 18 \cdot h.\]
Решим это уравнение:
\[h = \frac{108}{18} = 6 \, \text{см}.\]

Таким образом, высота призмы равна 6 см.

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Площадь боковой поверхности призмы можно найти, используя формулу:
\[S_{\text{бок}} = p \cdot h,\]
где \(p\) - периметр основания призмы, а \(h\) - высота призмы.

Так как основание призмы - прямоугольный треугольник, то его периметр можно найти по формуле:
\[p = a + b + c,\]
где \(a\), \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Мы уже нашли значения катетов и гипотенузы: \(a = 6\), \(b = 6\), \(c = 6\sqrt{2}\).

Теперь вычислим периметр основания призмы:
\[p = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}.\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = 72 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2.\]

Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности призмы.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S + S_{\text{бок}} = 18 + (72 + 36\sqrt{2}) = 90 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь полной поверхности прямой призмы равна \(90 + 36\sqrt{2} \, \text{см}^2\).

Я надеюсь, что это решение было подробным и понятным. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Всегда готов помочь вам!