Какую работу нужно выполнить, чтобы вывести ракету массой 200 кг за пределы поля тяготения Земли, если она стартует

Николай_6808

15

Для того чтобы вывести ракету массой 200 кг за пределы поля тяготения Земли, необходимо применить принцип сохранения энергии и использовать формулу работы, связанную с изменением потенциальной энергии ракеты.

Прежде чем приступить к решению, введем несколько величин:

\( m \) - масса ракеты, \( m = 200 \) кг
\( R \) - радиус Земли, \( R = 6371 \) км (средний радиус Земли)
\( h \) - высота орбиты над поверхностью Земли, \( h = 500 \) км
\( G \) - гравитационная постоянная, \( G = 6,67430 \times 10^{-11} \) м^3 / кг * с^2

Теперь решим задачу:

1. Найдем скорость космического корабля на орбите, используя второй закон Ньютона для движения по круговой орбите:

\( F_{ц} = \frac{{m \cdot v^2}}{R + h} \),

где \( F_{ц} \) - центростремительная сила, действующая на космический корабль,
\( m \) - масса ракеты,
\( v \) - скорость космического корабля,
\( R \) - радиус Земли,
\( h \) - высота орбиты над поверхностью Земли.

Поскольку космический корабль движется по круговой орбите, сила гравитации \( F_{гр} \), действующая на корабль, равна центростремительной силе \( F_{ц} \):

\( F_{ц} = F_{гр} \).

Таким образом,

\( F_{гр} = \frac{{G \cdot m \cdot M_{Зем}}{(R + h)^2}} \),

где \( M_{Зем} \) - масса Земли, \( M_{Зем} = 5,972 \times 10^{24} \) кг.

Подставляя значения, получаем:

\( \frac{{m \cdot v^2}}{R + h} = \frac{{G \cdot m \cdot M_{Зем}}{(R + h)^2}} \).

Отсюда можно выразить скорость космического корабля \( v \):

\( v = \sqrt{\frac{{G \cdot M_{Зем}}}{{R + h}}} \).

2. Вычислим изменение потенциальной энергии ракеты при переходе от высоты орбиты \( h \) к бесконечности. Оно равно работе \( A \), которую необходимо выполнить:

\( A = \Delta E_{п} = - \frac{{G \cdot m \cdot M_{Зем}}}{{R + h}} \).

Отрицательный знак здесь обозначает, что работа совершается против силы гравитации и тратится энергия на перемещение ракеты вне поля тяготения Земли.

3. Подставляя значения в формулу и вычисляя, получаем:

\( A = - \frac{{6,67430 \times 10^{-11} \cdot 200 \cdot 5,972 \times 10^{24}}}{{6371 + 500}} \approx - 1 \times 10^{10} \) Дж.

Таким образом, для вывода ракеты массой 200 кг за пределы поля тяготения Земли, необходимо выполнить работу, равную -1 × 10^10 Дж. Отрицательное значение работы указывает на то, что энергия должна быть затрачена на преодоление гравитационного потенциала Земли.