Задача 2. Найдите изменение температуры газа при адиабатическом сжатии 4 моль идеального одноатомного газа, при котором

Zhuravl

54

Итак, нам дано, что совершена работа внешней силы в объеме 1 кДж. Мы должны найти изменение температуры газа при таком адиабатическом сжатии.

Для решения этой задачи мы можем использовать первый закон термодинамики, которая утверждает, что изменение внутренней энергии системы равно сумме работы, совершенной внешними силами, и количеству теплоты, переданной системе. В данном случае, так как процесс адиабатический, газ не обменивается теплом с окружающей средой, что означает, что количеству теплоты равно нулю.

Таким образом, можно записать следующее уравнение:

\[
\Delta U = Q - W
\]

Где \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии системы, \(Q\) - количество теплоты, \(W\) - работа, совершенная внешними силами.

Для одноатомного газа изменение внутренней энергии связано с изменением температуры следующим образом:

\[
\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T
\]

Где \(n\) - количество молей газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Также, работа \(W\) связана с изменением объема \(V\) и давлением газа \(P\) следующим образом:

\[
W = P\Delta V
\]

Для адиабатического процесса \(PV^{\gamma} = const\), где \(\gamma\) - показатель адиабаты, который для одноатомного газа равен 5/3.

В нашем случае, у нас есть следующие данные: \(n = 4\) (количество молей газа), \(W = 1\) кДж (работа).

Мы должны найти \(\Delta T\) (изменение температуры).

Для начала, найдем \(P\) (давление газа) с использованием объема и работы, так как \(W = P\Delta V\):

\[
P = \frac{W}{\Delta V}
\]

Следовательно, нужно знать изменение объема \(\Delta V\).

Мы знаем, что \(PV^{\gamma} = const\), поэтому, чтобы найти \(\Delta V\), можно использовать \(P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}\), где индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния газа.

В начальной точке газ имеет изначальный объем \(V_1\) и изначальное давление \(P_1\). В конечной точке газ имеет объем \(V_2\) (который мы должны найти) и давление \(P_2\).

Теперь мы можем записать:

\[
P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}
\]

Или

\[
P_1V_1^{\gamma} = \frac{W}{\Delta V}V_2^{\gamma}
\]

Раскроем скобки:

\[
P_1V_1^{\gamma} = \frac{W}{\Delta V}V_2^{\gamma}
\]

\[
P_1 = \frac{W}{\Delta V}V_2^{\gamma-1}
\]

Теперь мы можем использовать это для нахождения \(P\):

\[
P = \frac{W}{\Delta V}
\]

\[
P = \frac{1}{\Delta V}V_2^{\gamma-1}
\]

Теперь имея \(P\), можно найти \(\Delta T\) с использованием уравнения состояния газа:

\[
P_2V_2 = nRT_2
\]

Зная, что \(P_1V_1^{\gamma} = \frac{W}{\Delta V}V_2^{\gamma}\), можно записать:

\[
\frac{1}{\Delta V}V_2^{\gamma-1}V_2 = nRT_2
\]

\[
V_2^{\gamma} = nRT_2
\]

\[
V_2 = (nRT_2)^{\frac{1}{\gamma}}
\]

Используя это, можно выразить \(\Delta T\):

\[
\Delta T = \frac{\Delta U}{\frac{3}{2}nR} = \frac{Q-W}{\frac{3}{2}nR}
\]

Подставляя значения, получим ответ.