Какую работу выполнил газ при адиабатном расширении, если гелий перешёл из состояния с давлением 5*10^5 Па и объёмом

Шура

50

Для решения этой задачи нам понадобится знание работы \(W\) при адиабатном расширении.

По определению, работа \(W\) выполняется газом при изменении объема исходя из следующего уравнения:

\[W = \int P dV\]

где \(P\) - давление газа, а \(dV\) - изменение его объема.

При адиабатном процессе сохраняется следующее соотношение:

\[P V^\gamma = \text{const}\]

где \(V\) - объем газа, \(\gamma = \frac{{C_p}}{{C_v}}\) - адиабатный показатель (отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении \(C_p\) и постоянном объеме \(C_v\)).

Если мы знаем начальное и конечное состояния газа (давления и объемы), мы можем воспользоваться этим уравнением, чтобы найти работу газа.

Начнем с того, что у нас есть начальное давление \(P_1 = 5 \times 10^5 \, \text{Па}\), начальный объем \(V_1 = 8 \, \text{л}\), конечное давление \(P_2 = 2 \times 10^5 \, \text{Па}\) и конечный объем \(V_2 = 2V_1 = 2 \times 8 \, \text{л}\).

Мы можем использовать пропорциональность \(P V^\gamma = \text{const}\), чтобы найти начальный объем:

\[P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[8^{\gamma} \times 5 \times 10^5 = (2 \times 8)^{\gamma} \times 2 \times 10^5\]

Упрощая уравнение, мы получаем:

\[8^{\gamma} = 2^{\gamma} \times 2\]

Поскольку база степени одинакова, то экспоненты равны:

\[8^{\gamma} = 2^{\gamma+1}\]

Возведем обе стороны в логарифм с основанием 2:

\[\gamma \log_2 8 = (\gamma+1)\]

Раскрывая логарифмы, мы получаем:

\[3 \gamma = \gamma + 1\]

Отсюда следует, что \(\gamma = \frac{1}{2}\).

Теперь, имея значение \(\gamma\), мы можем найти константу в уравнении \(P V^\gamma = \text{const}\). Для этого мы можем использовать начальное состояние газа:

\[P_1 V_1^\gamma = \text{const}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[5 \times 10^5 \times 8^{1/2} = \text{const}\]

Вычислив это выражение, мы получаем:

\[\text{const} = 2 \times 10^6 \, \text{Па} \cdot \text{л}^{1/2}\]

Теперь мы можем найти работу газа при адиабатном расширении, используя уравнение работы:

\[W = \int P dV\]

Вспоминая, что \(P V^\gamma = \text{const}\), мы можем записать:

\[W = \int \frac{\text{const}}{V^\gamma} dV\]

Выполняя интегрирование, получаем:

\[W = \left.\frac{\text{const}}{1-\gamma} V^{1-\gamma}\right|_{V_1}^{V_2}\]

Подставляя значения, мы получаем:

\[W = \frac{\text{const}}{1-\gamma} \left(V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma}\right)\]

Вычислив это выражение, получаем:

\[W = \frac{2 \times 10^6}{1 - \frac{1}{2}} \left[(2 \cdot 8)^{1-\frac{1}{2}} - 8^{1-\frac{1}{2}}\right]\]

Упрощая выражение, мы получаем:

\[W = \frac{2 \times 10^6}{\frac{1}{2}} \left[16^{\frac{1}{2}} - 8^{\frac{1}{2}}\right]\]

Вычислив корни, мы получаем:

\[W = 4 \times 10^6 (\sqrt{16} - \sqrt{8})\]

Вычисляя значения под корнем и выполняя вычисления, мы получаем:

\[W \approx 4 \times 10^6 \times (4 - 2\sqrt{2}) \, \text{Дж}\]

Таким образом, газ совершил работу при адиабатном расширении, примерно равную \(4 \times 10^6 \times (4 - 2\sqrt{2})\) Дж.