Какую сумму корней или единственного корня нужно найти в уравнении log x+1(2x^2-5x-7)=2?

Sofiya_9554

58

Для решения данного уравнения, мы сначала приведем его к эквивалентному виду, а затем найдем корни или единственный корень.

1) Начнем с приведения уравнения к эквивалентному виду:
log x+1(2x^2 - 5x - 7) = 2

2) Вспомним, что log a(b) = c эквивалентно b = a^c. Применим это правило к нашему уравнению:
2x^2 - 5x - 7 = (x + 1)^2

3) Распишем квадрат справа:
2x^2 - 5x - 7 = x^2 + 2x + 1

4) Перенесем все члены в левую часть уравнения:
2x^2 - x^2 - 5x - 2x - 7 - 1 = 0

5) Упростим левую часть уравнения:
x^2 - 7x - 8 = 0

6) Теперь мы можем решить получившееся квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта и далее рассмотрим три случая:

a) Если дискриминант (D) больше нуля, то у уравнения есть два различных корня.
b) Если дискриминант равен нулю, то у уравнения есть только один корень.
c) Если дискриминант отрицательный, то у уравнения нет вещественных корней.

7) Найдем значения дискриминанта:
D = (-7)^2 - 4*1*(-8) = 49 + 32 = 81

8) Так как дискриминант больше нуля (D > 0), мы имеем дело с первым случаем и у уравнения есть два различных корня.

9) Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения коэффициентов:
x = (-(-7) ± √81) / (2*1)
= (7 ± 9) / 2

10) Таким образом, мы получаем два различных корня:
x1 = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8
x2 = (7 - 9) / 2 = -2 / 2 = -1

Ответ: В данном уравнении нам нужно найти два различных корня. Корни равны x1 = 8 и x2 = -1.