Какую сумму первых членов данной геометрической прогрессии (хn) с положительным знаменателем нужно найти, если

Zvezdnyy_Admiral

41

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии, а также информацию о двух известных членах прогрессии.

Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[x_n = x_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(x_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(x_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Из условия задачи известно, что \(x_2 = 1\) и \(x_4 = \frac{3}{2}\). Мы можем использовать эти данные, чтобы создать систему уравнений и определить значения первого члена (\(x_1\)) и знаменателя (\(r\)).

Подставим значения известных членов в формулу и получим систему двух уравнений:

\[x_2 = x_1 \cdot r^{(2-1)} = 1\]
\[x_4 = x_1 \cdot r^{(4-1)} = \frac{3}{2}\]

Решим эту систему уравнений. Поделим второе уравнение на первое уравнение:

\[\frac{x_4}{x_2} = \frac{x_1 \cdot r^{(4-1)}}{x_1 \cdot r^{(2-1)}} = \frac{\frac{3}{2}}{1}\]

Упростим и решим данное уравнение:

\[\frac{r^3}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{1}\]
\[r^2 = \frac{3}{2}\]
\[r = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Поскольку в условии задачи указано, что знаменатель должен быть положительным, мы выберем положительный знак:

\[r = \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Теперь, когда мы знаем значение знаменателя (\(r\)), мы можем использовать это для определения первого члена (\(x_1\)). Подставим известные значения в первое уравнение:

\[x_2 = x_1 \cdot r^{(2-1)} = 1\]
\[x_1 \cdot r = 1\]
\[x_1 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = 1\]

Теперь решим это уравнение:

\[x_1 = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\]

Для удобства, рационализуем знаменатель, умножив его на \(\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\):

\[x_1 = \frac{1 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{6}{6}}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{6}{6}}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{1}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\]

Итак, мы нашли значение первого члена (\(x_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}\)) и значение знаменателя (\(r = \sqrt{\frac{3}{2}}\)). Теперь мы можем использовать эти значения для определения суммы первых членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{x_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]

Подставим значения \(x_1\) и \(r\) в формулу и получим:

\[S_n = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot (1 - (\sqrt{\frac{3}{2}})^n)}{1 - \sqrt{\frac{3}{2}}}\]

Таким образом, чтобы найти сумму первых членов данной геометрической прогрессии с положительным знаменателем, мы можем заменить \(S_n\) на данную формулу и подставить соответствующие значения \(x_1\), \(r\) и \(n\), которые требуются для вычисления нужной суммы.