Какую точку min достигает функция y=( 5- x ) e^2-x?

Zhiraf

66

Хорошо! Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно найти точку минимума функции \(y = (5 - x) e^{2-x}\). Чтобы найти точку минимума, мы должны найти точку, в которой производная функции равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).
Для упрощения расчетов, мы будем использовать правило производной произведения двух функций, а именно:

\[\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)\]

Здесь \(f(x) = 5 - x\) и \(g(x) = e^{2-x}\), а их производные выглядят следующим образом:

\[\frac{d}{dx}(5 - x) = -1\]
\[\frac{d}{dx}(e^{2-x}) = -e^{2-x}\]

Теперь мы можем вычислить производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[\frac{dy}{dx} = (-1)e^{2-x} + (5-x)(-e^{2-x})\]
\[\frac{dy}{dx} = -e^{2-x} - (5-x)e^{2-x}\]
\[\frac{dy}{dx} = -e^{2-x} - 5e^{2-x} + xe^{2-x}\]
\[\frac{dy}{dx} = (-6 + x)e^{2-x}\]

Шаг 2: Найдем точку, в которой производная равна нулю.
Чтобы найти точку, в которой производная равна нулю, мы должны решить следующее уравнение:

\[\frac{dy}{dx} = (-6 + x)e^{2-x} = 0\]

Мы знаем, что экспоненциальная функция \(e^{2-x}\) не обращается в ноль. Таким образом, чтобы выражение было равно нулю, должно выполняться следующее равенство:

\[-6 + x = 0\]

Решая это уравнение, мы получаем \(x = 6\).

Шаг 3: Найдем значение функции \(y\) в точке минимума.
Мы можем найти значение функции \(y\) в точке минимума, подставив \(x = 6\) в исходную функцию:

\[y = (5 - 6) e^{2-6}\]
\[y = -e^{-4}\]

Таким образом, функция \(y=(5 - x)e^{2-x}\) достигает минимума в точке \((6, -e^{-4})\).

Я надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как найти точку минимума данной функции.