Какую точку найти на эллипсе 9x² + 25y² = 225, чтобы расстояние от этой точки до правого фокуса было в четыре раза

Магический_Лабиринт

19

Для решения данной задачи нам потребуется некоторое знание о свойствах эллипса. Начнем с определения эллипса: эллипс - это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) является постоянной величиной.

Теперь, по условию, мы ищем точку на эллипсе такую, чтобы расстояние от нее до правого фокуса было в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса. Пусть левый фокус имеет координаты \((c,0)\), а правый фокус имеет координаты \((-c,0)\), где \(c\) - это расстояние от центра эллипса до фокуса.

Теперь мы можем использовать свойство эллипса для нахождения данной точки. Расстояние между двумя точками на плоскости можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

Давайте обозначим искомую точку как \((x, y)\). Тогда расстояние от нее до левого фокуса будет равно:

\[
d_1 = \sqrt{{(x - c)^2 + y^2}}
\]

А расстояние от нее до правого фокуса будет равно:

\[
d_2 = \sqrt{{(x + c)^2 + y^2}}
\]

По условию, мы хотим, чтобы расстояние от искомой точки до правого фокуса было в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса. Математически это можно записать как:

\[
d_2 = 4 \cdot d_1
\]

Теперь, подставив значения \(d_1\) и \(d_2\) из формул выше, получим уравнение:

\[
\sqrt{{(x + c)^2 + y^2}} = 4 \cdot \sqrt{{(x - c)^2 + y^2}}
\]

Для удобства, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
(x + c)^2 + y^2 = 16 \cdot ((x - c)^2 + y^2)
\]

Раскрыв скобки и упростив уравнение, получим:

\[
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 16x^2 - 32cx + 16c^2 + 16y^2
\]

Теперь объединим все члены с \(x\) и с \(y\) вместе:

\[
15x^2 - 34cx + 15c^2 + 15y^2 = 0
\]

Теперь у нас есть уравнение, которое описывает точку на эллипсе с заданным условием. Но для полного решения, давайте подставим выражение для эллипса из условия в это уравнение:

\[
9x^2 + 25y^2 - 225 = 0
\]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
15x^2 - 34cx + 15c^2 + 15y^2 = 0 \\
9x^2 + 25y^2 - 225 = 0
\end{cases}
\]

Можно решить эту систему уравнений для \(x\) и \(y\), чтобы найти координаты искомой точки. Однако, заметим, что у нас есть квадратичные уравнения одной и той же степени для \(x\) и \(y\). Вместо решения системы уравнений, можем решить уравнение только для \(x\) или только для \(y\). Давайте решим для \(x\):

\[
9x^2 + 25y^2 - 225 = 0
\]

Решение данного уравнения даст нам значения \(x\), а затем мы сможем подставить их в уравнение для \(y\) и найти соответствующие значения \(y\).

Чтобы решить уравнение для \(x\), начнем с приведения его к каноническому виду. В этом уравнении коэффициент при \(x^2\) равен 9, поэтому можно поделить обе части уравнения на 9:

\[
x^2 + \frac{{25}}{{9}}y^2 - 25 = 0
\]

Затем, чтобы избавиться от коэффициента при \(y^2\), умножим обе части уравнения на \(\frac{{9}}{{25}}\):

\[
\frac{{9}}{{25}}x^2 + y^2 - \frac{{225}}{{25}} = 0
\]

Теперь у нас получилось уравнение в канонической форме для эллипса:

\[
\frac{{x^2}}{{\left(\frac{{5}}{{3}}\right)^2}} + \frac{{y^2}}{{5^2}} = 1
\]

Где радиусы эллипса равны \(\frac{{5}}{{3}}\) и 5 соответственно.

Итак, искомая точка на эллипсе можно найти, решая систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{{x^2}}{{\left(\frac{{5}}{{3}}\right)^2}} + \frac{{y^2}}{{5^2}} = 1 \\
9x^2 + 25y^2 - 225 = 0
\end{cases}
\]

Однако решение этой системы уравнений будет сложным и не очень наглядным. Что мы можем сделать вместо этого - это графически представить оба эллипса и найти точку пересечения.

Давайте нарисуем график эллипса с уравнением \(\frac{{x^2}}{{\left(\frac{{5}}{{3}}\right)^2}} + \frac{{y^2}}{{5^2}} = 1\).