Когда после выхода товарного поезда экспресс его догонит и на каком расстоянии от станции это произойдет?

Степан

68

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть скорость товарного поезда равна \( V_t \) и его время в пути равно \( t \). Пусть скорость экспресса равна \( V_e \) и его время в пути равно \( t" \).

По условию задачи известно, что экспресс догоняет товарный поезд. Это значит, что они встречаются в одной точке на пути. Расстояние, которое проехал товарный поезд, равно расстоянию, которое проехал экспресс:

\[ V_t \cdot t = V_e \cdot t" \]

Также в задаче указано, что экспресс догоняет товарный поезд. Это значит, что время встречи экспресса и товарного поезда равно:

\[ t + t" = T \]

где \( T \) - время, через которое экспресс догонит товарный поезд.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
V_t \cdot t = V_e \cdot t" \\
t + t" = T
\end{cases}
\]

Чтобы найти время встречи экспресса и товарного поезда, а также расстояние от станции до точки встречи, необходимо решить эту систему уравнений. Для этого можно использовать метод подстановки или метод сложения.

Решим систему с помощью метода сложения. Умножим первое уравнение на \( t" \), а второе уравнение на \( t \):

\[
\begin{cases}
V_t \cdot t \cdot t" = V_e \cdot t" \cdot t \\
t \cdot t" + t \cdot t" = T \cdot t"
\end{cases}
\]

Складываем оба уравнения:

\[ 2 \cdot t \cdot t" = T \cdot t" + T \cdot t \]

Выразим время встречи экспресса и товарного поезда:

\[ t \cdot t" = \frac{T \cdot t"}{2} + \frac{T \cdot t}{2} \]

Разделим оба части уравнения на \( t \cdot t" \):

\[ 1 = \frac{T}{2 \cdot t"} + \frac{T}{2 \cdot t} \]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной. Решим его.

\[ 1 = \frac{T}{2 \cdot t"} + \frac{T}{2 \cdot t} \]

\[ \frac{2}{T} = \frac{1}{t"} + \frac{1}{t} \]

\[ \frac{2}{T} = \frac{t + t"}{t \cdot t"} \]

\[ 2 \cdot t \cdot t" = T \cdot (t + t") \]

Раскроем скобки:

\[ 2 \cdot t \cdot t" = T \cdot t + T \cdot t" \]

Выразим время встречи экспресса и товарного поезда:

\[ T \cdot t = t \cdot t" \]

Теперь мы имеем уравнение, которое связывает время встречи с расстоянием от станции до точки встречи:

\[ T \cdot t = t \cdot t" \]

Возможно, вы заметили, что это уравнение похоже на первое уравнение в системе:

\[ V_t \cdot t = V_e \cdot t" \]

Однако, у нас есть теперь два уравнения, связывающих \( t \) и \( t" \), и мы можем использовать их для нахождения этих величин.

Давайте решим это уравнение относительно \( t \):

\[ t = \frac{t \cdot t"}{T} \]

\[ T = t" \]

Отсюда следует, что время встречи экспресса и товарного поезда равно времени в пути экспресса. Теперь мы знаем, когда произойдет встреча.

Чтобы найти расстояние от станции до точки встречи, мы можем использовать одно из уравнений из начальной системы. Выберем первое уравнение:

\[ V_t \cdot t = V_e \cdot t" \]

Подставим \( T \) вместо \( t \) и \( t" \):

\[ V_t \cdot T = V_e \cdot T \]

Теперь, когда у нас есть значения \( V_t \) и \( V_e \) (скорости товарного поезда и экспресса соответственно), мы можем вычислить расстояние от станции до точки встречи.

Для этого нет достаточной информации, поэтому я не могу предоставить точный ответ на ваш вопрос о расстоянии. Зато, теперь у вас есть полный шаг за шагом процесс решения этой задачи. Если вы предоставите значения скоростей экспресса и товарного поезда, я смогу вычислить расстояние для вас.