Когда завершилось строительство офисного помещения, у строителей осталось некоторое количество плиток. Решено было

Skorostnaya_Babochka_4613

14

Допустим, в начале у строителей было $x$ плиток.

Если ставить 11 плиток в ряд, то не хватит плиток для последнего ряда. Это означает, что общее количество плиток $x$ не делится на 11 без остатка. То есть, можем записать это условие математически:

$$x\mathrm{mod}11\ne 0$$

Если ставить 12 плиток в ряд, то количество полных рядов будет одинаковым, но в последнем ряду будет на 9 плиток меньше, чем в последнем ряду при укладке 11 плиток.

Пусть $n$ - количество полных рядов, то есть это количество рядов, в которых ставятся по 12 плиток. В последнем ряду будет на 9 плиток меньше, чем в последнем ряду при укладке 11 плиток, поэтому в последнем ряду будет $12-9=3$ плитки.

Таким образом, количество плиток в $n$ полных рядах будет $12n-3$.

В конечном итоге было решено ставить по 13 плиток в ряду, но не хватило нескольких плиток, чтобы создать квадратную площадку.

Пусть $m$ - количество плиток, которых не хватило, чтобы создать квадратную площадку. Таким образом, общее количество плиток в квадратной площадке будет $m+{13}^2$.

Исходя из всего этого, мы можем записать систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}x\mathrm{mod}11\ne 0\\ x=12n-3\\ m+{13}^2=x\end{array}$

Решим данную систему уравнений:

Подставим второе уравнение в третье:

$$m+{13}^2=12n-3$$

Упростим:

$$m=12n-3-169$$
$$m=12n-172$$

Используем это значение $m$ и подставим в первое уравнение:

$$(12n-172)\mathrm{mod}11\ne 0$$

Упростим:

$$-n+4\ne 0$$

Теперь, заметим, что $n$ должно быть целым числом, тогда и только тогда это уравнение выполняется. Посмотрим на $n$ включительно от 1 до 20:

$$n=1:-1+4=3\ne 0$$
$$n=2:-2+4=2\ne 0$$
$$n=3:-3+4=1\ne 0$$
$$...$$
$$n=20:-20+4=-16\ne 0$$

Как видно, ни одно значение $n$ не приводит к равенству нулю, поэтому решения в целых числах для системы уравнений нет. Следовательно, нет никаких плиток изначально, и задача некорректна.