Когда завершилось строительство офисного помещения, у строителей осталось некоторое количество плиток. Решено было

  • 33
Когда завершилось строительство офисного помещения, у строителей осталось некоторое количество плиток. Решено было поставить плитки на площадку рядом со зданием. Если ставить 11 плиток в ряд, то не хватит плиток для последнего ряда. Если ставить 12 плиток в ряд, то количество полных рядов будет одинаковым, но в последнем ряду будет на 9 плиток меньше, чем в последнем ряду при укладке 11 плиток. В конечном итоге было решено ставить по 13 плиток в ряду, но не хватило нескольких плиток, чтобы создать квадратную площадку. Сколько плиток было изначально?
Skorostnaya_Babochka_4613
14
Допустим, в начале у строителей было \(x\) плиток.

Если ставить 11 плиток в ряд, то не хватит плиток для последнего ряда. Это означает, что общее количество плиток \(x\) не делится на 11 без остатка. То есть, можем записать это условие математически:

\[x \mod 11 \neq 0\]

Если ставить 12 плиток в ряд, то количество полных рядов будет одинаковым, но в последнем ряду будет на 9 плиток меньше, чем в последнем ряду при укладке 11 плиток.

Пусть \(n\) - количество полных рядов, то есть это количество рядов, в которых ставятся по 12 плиток. В последнем ряду будет на 9 плиток меньше, чем в последнем ряду при укладке 11 плиток, поэтому в последнем ряду будет \(12 - 9 = 3\) плитки.

Таким образом, количество плиток в \(n\) полных рядах будет \(12n - 3\).

В конечном итоге было решено ставить по 13 плиток в ряду, но не хватило нескольких плиток, чтобы создать квадратную площадку.

Пусть \(m\) - количество плиток, которых не хватило, чтобы создать квадратную площадку. Таким образом, общее количество плиток в квадратной площадке будет \(m + 13^2\).

Исходя из всего этого, мы можем записать систему уравнений:

\(\begin{cases}x \mod 11 \neq 0\\x = 12n - 3\\m + 13^2 = x\end{cases}\)

Решим данную систему уравнений:

Подставим второе уравнение в третье:

\[m + 13^2 = 12n - 3\]

Упростим:

\[m = 12n - 3 - 169\]
\[m = 12n - 172\]

Используем это значение \(m\) и подставим в первое уравнение:

\[(12n - 172) \mod 11 \neq 0\]

Упростим:

\[-n + 4 \neq 0\]

Теперь, заметим, что \(n\) должно быть целым числом, тогда и только тогда это уравнение выполняется. Посмотрим на \(n\) включительно от 1 до 20:

\[n = 1: -1 + 4 = 3 \neq 0\]
\[n = 2: -2 + 4 = 2 \neq 0\]
\[n = 3: -3 + 4 = 1 \neq 0\]
\[...\]
\[n = 20: -20 + 4 = -16 \neq 0\]

Как видно, ни одно значение \(n\) не приводит к равенству нулю, поэтому решения в целых числах для системы уравнений нет. Следовательно, нет никаких плиток изначально, и задача некорректна.