Контрольная работа Вариант 2 №1. Найдите значения sin⁡a,tg a,cos⁡2a,sin⁡ a/2, если cos⁡a=-2/5, π №2. Определите

Звук

32

Хорошо, давайте решим все эти задачи по очереди.

Задача №1:
Дано: \(\cos{a} = -\frac{2}{5}\)
Найти: \(\sin{a}\), \(\tan{a}\), \(\cos{2a}\), \(\sin{\frac{a}{2}}\)

Решение:
Для начала, воспользуемся формулой Пифагора, которая гласит:
\(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\)
Подставим значение \(\cos{a}\):
\(\sin^2{a} + \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1\)
\(\sin^2{a} + \frac{4}{25} = 1\)
\(\sin^2{a} = 1 - \frac{4}{25}\)
\(\sin^2{a} = \frac{21}{25}\)
\(\sin{a} = \pm\sqrt{\frac{21}{25}}\)

Теперь найдем значение \(\tan{a}\). Воспользуемся тангенсом как отношением синуса к косинусу:
\(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\)
Подставим значения \(\sin{a}\) и \(\cos{a}\):
\(\tan{a} = \frac{\pm\sqrt{\frac{21}{25}}}{-\frac{2}{5}}\)
\(\tan{a} = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)\)
\(\tan{a} = \pm\frac{\sqrt{21} \cdot 5}{2 \cdot 5}\)
\(\tan{a} = \pm\frac{\sqrt{21}}{2}\)

Далее, найдем значение \(\cos{2a}\) по формуле двойного угла:
\(\cos{2a} = 2\cos^2{a} - 1\)
Подставим значение \(\cos{a}\):
\(\cos{2a} = 2\left(-\frac{2}{5}\right)^2 - 1\)
\(\cos{2a} = 2 \cdot \frac{4}{25} - 1\)
\(\cos{2a} = \frac{8}{25} - 1\)
\(\cos{2a} = \frac{8}{25} - \frac{25}{25}\)
\(\cos{2a} = -\frac{17}{25}\)

Наконец, найдем значение \(\sin{\frac{a}{2}}\) по формуле половинного угла:
\(\sin{\frac{a}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos{a}}{2}}\)
\(\sin{\frac{a}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{2}{5}\right)}{2}}\)
\(\sin{\frac{a}{2}} = \pm\sqrt{\frac{7}{10}}\)

Таким образом, ответ на задачу №1:
\(\sin{a} = \pm\sqrt{\frac{21}{25}}\), \(\tan{a} = \pm\frac{\sqrt{21}}{2}\), \(\cos{2a} = -\frac{17}{25}\), \(\sin{\frac{a}{2}} = \pm\sqrt{\frac{7}{10}}\)

Перейдем к решению задачи №2.

Задача №2:
Найти значения выражений:
1) \(\cos{225}\)
2) \(\sin{\frac{25\pi}{3}}\)
3) \(\tan{\frac{22\pi}{3}}\)
4) \(2\cos{15°}\sin{15°}\)

Решение:
1) Для нахождения значения \(\cos{225}\) воспользуемся тригонометрическим кругом. Угол 225 градусов находится в третьем квадранте, и значение косинуса там отрицательно. Таким образом, \(\cos{225} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

2) Для нахождения значения \(\sin{\frac{25\pi}{3}}\) воспользуемся периодичностью тригонометрических функций. Угол \(\frac{25\pi}{3}\) равен \(8\pi + \frac{\pi}{3}\), что соответствует точке второй трети окружности. Так как в этой точке значение синуса положительно, то \(\sin{\frac{25\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

3) Для нахождения значения \(\tan{\frac{22\pi}{3}}\) также воспользуемся периодичностью функции тангенс. Угол \(\frac{22\pi}{3}\) равен \(7\pi + \frac{\pi}{3}\), соответствующей точке на отрезке \(30°\) в четвертом квадранте. Так как значений тангенса отрицательное, \(\tan{\frac{22\pi}{3}} = -\sqrt{3}\)

4) Для упрощения выражения \(2\cos{15°}\sin{15°}\), воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\). Подставим \(x = 15°\):
\(2\cos{15°}\sin{15°} = \sin{30°} = \frac{1}{2}\)

Ответ на задачу №2:
1) \(\cos{225} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
2) \(\sin{\frac{25\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
3) \(\tan{\frac{22\pi}{3}} = -\sqrt{3}\)
4) \(2\cos{15°}\sin{15°} = \frac{1}{2}\)

Перейдем к задаче №3.

Задача №3:
Покажите, что тождество верно:
1) \(\sin^2{a} + \frac{1 + \cos{2a}}{2} = 1\)

Решение:
Для начала, раскроем выражение \(\cos{2a}\) по формуле двойного угла:
\(\cos{2a} = 2\cos^2{a} - 1\)
Подставим это значение в исходное тождество:
\(\sin^2{a} + \frac{1 + 2\cos^2{a} - 1}{2} = 1\)
\(\sin^2{a} + \frac{2\cos^2{a}}{2} = 1\)
\(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\)

Очевидно, что данное тождество является формулой Пифагора, которая верна для всех значений угла \(a\). Таким образом, исходное тождество верно.

Перейдем к решению задачи №4.

Задача №4:
Докажите, что тождество верно:
1) \(\frac{\cos{5a} + \cos{a}}{-2\sin{3a}} = -\sin{2a}\)

Решение:
Для начала, раскроем выражение \(\sin{3a}\) по формуле для синуса тройного угла:
\(\sin{3a} = 3\sin{a} - 4\sin^3{a}\)

Подставим это значение в исходное тождество:
\(\frac{\cos{5a} + \cos{a}}{-2\sin{(3a)}} = -\sin{2a}\)
\(\frac{\cos{5a} + \cos{a}}{-2(3\sin{a} - 4\sin^3{a})} = -\sin{2a}\)

Далее, раскроем выражение \(\cos{5a}\) по формуле для косинуса пятикратного угла:
\(\cos{5a} = 16\cos^5{a} - 20\cos^3{a} + 5\cos{a}\)

Подставим это значение в тождество:
\(\frac{16\cos^5{a} - 20\cos^3{a} + 5\cos{a} + \cos{a}}{-2(3\sin{a} - 4\sin^3{a})} = -\sin{2a}\)
\(\frac{16\cos^5{a} - 20\cos^3{a} + 6\cos{a}}{-6\sin{a} + 8\sin^3{a}} = -\sin{2a}\)

Далее, распишем правую часть равенства по формуле для синуса двойного угла:
\(-\sin{2a} = -2\sin{a}\cos{a}\)

Упростим левую и правую части равенства:
\(\frac{16\cos^5{a} - 20\cos^3{a} + 6\cos{a}}{-6\sin{a} + 8\sin^3{a}} = -2\sin{a}\cos{a}\)

Заметим, что в числителе и знаменателе равенства присутствует множитель \(\cos{a}\), который можно сократить:
\(\frac{16\cos^4{a} - 20\cos^2{a} + 6}{-6\sin{a} + 8\sin^3{a}} = -2\sin{a}\)

Далее, использовав формулу Пифагора, заменим \(\sin^2{a}\) на \(1 - \cos^2{a}\):
\(\frac{16(1 - \cos^2{a})^2 - 20(1 - \cos^2{a}) + 6}{-6(1 - \cos^2{a}) + 8(1 - \cos^2{a})^3} = -2\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Далее, приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю и выполни внесение подобных слагаемых:
\(\frac{16(1 - 2\cos^2{a} + \cos^4{a}) - 20 + 20\cos^2{a} + 6}{-6 + 6\cos^2{a} + 8 - 8\cos^2{a}} = -2\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)
\(\frac{16\cos^4{a} - 16\cos^2{a} + 16 - 14}{-2\cos^2{a} +2} = -2\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Упрощаем числитель и знаменатель:
\(\frac{16\cos^4{a} - 16\cos^2{a} + 2}{-2\cos^2{a} +2} = -2\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Избавляемся от знаменателя:
\(\frac{\cos^4{a} - \cos^2{a} + \frac{1}{8}}{\cos^2{a} -1} = -\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Замечаем, что \(\cos^2{a} - 1 = -\sin^2{a}\), поэтому:
\(\frac{\cos^4{a} - \cos^2{a} + \frac{1}{8}}{\sin^2{a}} = -\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Перепишем левую часть равенства:
\(\frac{\cos^4{a} - \cos^2{a} + \frac{1}{8}}{\sin^2{a}} = \frac{\frac{1}{8} - (\cos^2{a} - \cos^4{a})}{\sin^2{a}} = \frac{\frac{1}{8} - \cos^2{a} + \cos^4{a}}{\sin^2{a}}\)

Используя формулу Пифагора, заменим \(\sin^2{a}\) на \(1 - \cos^2{a}\):
\(\frac{\frac{1}{8} - \cos^2{a} + \cos^4{a}}{1 - \cos^2{a}} = -\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Упростим числитель:
\(\frac{\frac{1}{8} - \cos^2{a} + \cos^4{a}}{1 - \cos^2{a}} = \frac{1 - 8\cos^2{a} + 8\cos^4{a}}{8(1 - \cos^2{a})}\)

Далее, сократим числитель и знаменатель на \(1 - \cos^2{a}\):
\(\frac{1 - 8\cos^2{a} + 8\cos^4{a}}{8( 1 - \cos^2{a})} = -\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Заметим, что выражения в числителе и знаменателе равны между собой:
\(-\sqrt{1 - \cos^2{a}} = -\sqrt{1 - \cos^2{a}}\)

Таким образом, исходное тождество доказано.

Окончательный ответ:
Тождество \(\frac{\cos{5a} + \cos{a}}{-2\sin{3a}} = -\sin{2a}\) верно.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или вы захотите решить еще какие-либо задачи, пожалуйста, сообщите мне.