Куб ABCDA1B1C1D1 имеет длину ребра 1. Точка M находится на ребре A1D1 так, что A1M:MD1=3:4. Найдите синус угла ϕ между

Volshebnik

11

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые геометрические свойства и формулы. Давайте начнем.

Во-первых, построим параллелограмм A1B1C1D1. Так как его ребро имеет длину 1, то длина его диагонали (т.е. отрезка BB1 или DD1) также равна 1. Обратите внимание, что ребра куба A1B1C1D1- параллельны осям координат.

Далее, построим прямую AM. Мы знаем, что отношение A1M:MD1 равно 3:4. Это означает, что длина отрезка A1M равна \(\frac{3}{7}\) и длина отрезка MD1 равна \(\frac{4}{7}\).

Теперь нам необходимо найти синус угла \(\phi\) между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D).

Обозначим точку пересечения прямой AM с плоскостью (BB1D1D) как точку P. Заметим, что треугольник AMP и треугольник B1PD1 подобны друг другу, так как у них соответствующие углы равны и их стороны пропорциональны.

Используя свойства подобных треугольников, мы можем записать следующее соотношение:

\[
\frac{MP}{PD_1} = \frac{AM}{A_1D_1} = \frac{\frac{3}{7}}{1} = \frac{3}{7}
\]

Заметьте, что длина отрезка PD1 равна длине отрезка A1B1 (т.е. 1). Поэтому мы можем записать:

\[
\frac{MP}{1} = \frac{3}{7}
\]

Отсюда получаем, что длина отрезка MP равна \(\frac{3}{7}\).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике MPA1, чтобы найти длину отрезка PA1:

\[
PA_1 = \sqrt{MA_1^2 - MP^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{3}{7}\right)^2} = \frac{4\sqrt{10}}{7}
\]

Перейдем теперь к нахождению синуса угла \(\phi\). Мы знаем, что синус угла можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Так как отрезок PA1 является противолежащим катетом, а диагональ BB1D1D (гипотенуза) проходит через точку P, то нам нужно найти отношение длины отрезка PA1 к длине диагонали BB1D1D.

Длина диагонали BB1D1D равна 1, а длина отрезка PA1 равна \(\frac{4\sqrt{10}}{7}\). Поэтому мы можем записать:

\[
\sin(\phi) = \frac{PA_1}{BB_1D_1} = \frac{4\sqrt{10}}{7}
\]

Таким образом, мы получаем ответ: \(\sin(\phi) = \frac{4\sqrt{10}}{7}\).