Массасы 100 кг тыныштықта тұрған арбадан массалары 40 кг болатын екі бала кезектесіп, бір бағытта 1 м/с жылдамдықпен

Zvezdnyy_Lis

33

Для решения этой задачи, мы можем использовать законы сохранения импульса и массы. Есть два действующих тела: арба и два ребенка. Пусть масса арбы будет \(M\), а массы двух детей - \(m_1\) и \(m_2\) соответственно.

Согласно закону сохранения массы, суммарная масса детей не изменится. Это означает, что масса детей после столкновения будет такой же, какая она была до него, то есть \(m_1 + m_2 = 100\). Также по условию известно, что масса одного из детей равна 40 кг, следовательно, \(m_1 = 40\).

Для определения скорости арбы после столкновения, мы можем использовать закон сохранения импульса. Импульс - это произведение массы на скорость. Таким образом, до столкновения импульс арбы равен \[M \cdot 0\] (арба неподвижна), а суммарный импульс детей равен \[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\], где \(v_1\) и \(v_2\) - скорости детей до столкновения.

После столкновения, арба и дети двигаются как одно тело, поэтому их суммарный импульс также сохраняется. Импульс после столкновения равен \[(M + m_1+ m_2) \cdot v\], где \(v\) - скорость, с которой движется арба с детьми после столкновения.

Используя законы сохранения импульса и массы, мы можем записать уравнения:

\[
\begin{align*}
M \cdot 0 &= m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \quad \text{(1)} \\
(M + m_1 + m_2) \cdot v &= m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Подставляя значения \(m_1 = 40\) и \(m_1 + m_2 = 100\) в данные уравнения, мы можем решить систему уравнений относительно \(v_1\) и \(v_2\).

\[
\begin{align*}
0 &= 40 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \quad \text{(3)} \\
(M + 100) \cdot v &= 40 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \quad \text{(4)}
\end{align*}
\]

Теперь решим систему уравнений (3) и (4) относительно \(v_1\) и \(v_2\).

\[
\begin{align*}
0 &= 40 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \quad \text{(3)} \\
M \cdot v + 100 \cdot v &= 40 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \quad \text{(4)}
\end{align*}
\]

Мы знаем, что \(m_2 = 100 - m_1 = 100 - 40 = 60\), поэтому мы можем заменить \(m_2\) в уравнениях (3) и (4).

\[
\begin{align*}
0 &= 40 \cdot v_1 + 60 \cdot v_2 \quad \text{(5)} \\
M \cdot v + 100 \cdot v &= 40 \cdot v_1 + 60 \cdot v_2 \quad \text{(6)}
\end{align*}
\]

В уравнении (5) выражаем \(v_1\) через \(v_2\):

\[v_1 = -\frac{3v_2}{2}\]

Подставляя \(v_1\) в уравнение (6), получаем:

\[M \cdot v + 100 \cdot v = 40 \cdot \left(-\frac{3v_2}{2}\right) + 60 \cdot v_2\]

Раскрываем скобки:

\[M \cdot v + 100 \cdot v = -60v_2 + 60v_2\]

Упрощаем выражение:

\[M \cdot v + 100 \cdot v = 0\]

\[v(M + 100) = 0\]

Так как \(M\) - масса арбы равна 100 кг, то \(M+100\) не равно 0. Поэтому уравнение имеет тривиальное решение \(v=0\).

Итак, скорость арбы после столкновения равна 0 м/с. Это означает, что арба остается неподвижной после столкновения.

Надеюсь, это понятно.