Математика | комбинаторика Соединены дорогами пять городов А, Б, В, Г и Д так, чтобы каждый город имел степень

Luna_V_Omute_6790

14

Для начала рассмотрим вариант с пятью городами, то есть с графом, в котором уже построены дороги таким образом, что каждый город имеет степень 2. Поскольку каждый город должен быть соединен с двумя другими городами, мы можем представить это в виде цикла. Другими словами, пять городов могут быть соединены в цепь, где первый город связан с последним, а остальные города идут по порядку.

Таким образом, допустимые варианты для еще одной дороги соответствуют различным способам выбрать две грани (дороги), которые не соединены на данный момент. В цепи, каждый город уже соединен с двумя соседними городами, поэтому возможны только два варианта выбора: либо выбрать две грани, соединяющие соседние города, либо выбрать две грани, соединяющие города, находящиеся на расстоянии двух друг от друга в цепи.

Таким образом, для случая с пятью городами имеется два возможных варианта для проложения еще одной дороги.

Теперь давайте рассмотрим случай с произвольным количеством городов n. Подобно предыдущему случаю, мы можем представить граф в виде цепи, где каждый город соединен с двумя соседними городами. В этом случае, количество дорог остается неизменным (n-1), поскольку каждый город должен быть соединен с двумя другими городами.

Дополнительно проложенная дорога должна пройти через одну из уже имеющихся дорог. Таким образом, выбор грани, по которой пройдет дополнительная дорога, зависит от количества городов. Если n нечетное, то вариантов для проложения дополнительной дороги будет (n-1)/2. Если n четное, то вариантов будет (n-2)/2.

Таким образом, для случая с произвольным количеством городов n, количество возможных вариантов для прокладки еще одной дороги будет зависеть от четности/нечетности n и будет равно (n-1)/2 для нечетного n и (n-2)/2 для четного n.

Надеюсь, данное объяснение поможет вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.