Какая длина стороны основания правильной треугольной пирамиды, если угол между высотой и боковой гранью составляет

Единорог_3865

59

Для начала, давайте определим, что такое правильная треугольная пирамида. Это пирамида, у которой основание — правильный треугольник, все боковые грани равны между собой, а вершина падает перпендикулярно на плоскость основания.

Дано, что угол между высотой и боковой гранью составляет 30 градусов, а радиус вписанного в пирамиду шара известен. Для начала, обратимся к сечению пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и перпендикулярной к основанию. Это сечение будет содержать два треугольника: основание и равнобедренный треугольник, образованный одной из боковых граней пирамиды и радиусом шара.

Так как треугольник, образованный радиусом шара, боковой гранью и половиной стороны основания пирамиды, является равнобедренным, то у нас имеется прямой угол между боковой гранью и высотой пирамиды, который делит основание пополам.

Лучше всего, начать с построения данной конструкции на листе бумаги или в графическом редакторе для наглядности. Когда мы это сделаем, можно перейти к вычислениям значения стороны основания правильной треугольной пирамиды.

Давайте обозначим радиус вписанного в пирамиду шара как \(r\), длину стороны основания как \(a\), и высоту пирамиды как \(h\). Также обозначим центр шара, который совпадает с центром основания пирамиды, как \(O\). Пусть отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, пересечение основание пирамиды в точке \(M\) и боковую грань в точке \(N\).

Из построения можем заметить, что треугольник \(OMN\) — прямоугольный, причем угол при вершине \(O\) составляет 30 градусов (так как это угол между высотой и боковой гранью пирамиды). Также, так как у треугольника \(OMN\) две равные стороны (\(r\) и \(a/2\)), то он является равнобедренным.

Используя свойства треугольника \(OMN\), можем записать соответствующее уравнение:

\[ \tan 30^\circ = \frac{r}{a/2} \]

Следовательно, \(\displaystyle a = \frac{2r}{\tan 30^\circ} = 2r \cdot \frac{1}{\tan 30^\circ} = 2r \cdot \sqrt{3} \approx 3.46r\).

Таким образом, длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна примерно 3.46 раза радиусу вписанного в пирамиду шара.