Можете ли вы подтвердить, что $(р-1)! + 1 $ делится на $р$, где $р$ является простым числом?

Янтарь

34

Конечно! Давайте рассмотрим задачу более подробно. Мы должны проверить, делится ли выражение \((р-1)! + 1\) на простое число \(р\).

Для начала, давайте вспомним, что факториал числа \(n\), обозначается как \(n!\), представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). То есть, \((р-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (р-1)\).

Теперь давайте рассмотрим это выражение подробнее. Мы имеем \((р-1)! + 1\). Если это выражение делится на простое число \(р\), то остаток от деления будет равен 0. Допустим, остаток не равен 0, тогда это значит, что \((р-1)! + 1\) не делится на \(р\).

Теперь давайте допустим обратное, то есть предположим, что \((р-1)! + 1\) делится на \(р\). Это означает, что мы можем записать \((р-1)! + 1 = р \cdot к\), где \(к\) - некоторое целое число.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) Если \(р\) - нечетное простое число, то наше утверждение верно. Это потому, что все числа \((р-1)!\) делятся на \(р\) без остатка, так как они являются множителями в его факториале. К тому же, мы добавляем 1, которая также является нечетным числом, поэтому сумма \((р-1)! + 1\) будет нечетной и делится на нечетное простое число \(р\).

2) Если \(р = 2\) (чтобы простое число было четным), то \((р-1)! = 1\), и \((р-1)! + 1 = 1 + 1 = 2\). Таким образом, в этом случае \((р-1)! + 1\) делится на \(р = 2\).

В обоих случаях, мы видим, что \((р-1)! + 1\) действительно делится на простое число \(р\).

Таким образом, мы подтверждаем, что когда \(р\) является простым числом, выражение \((р-1)! + 1\) действительно делится на \(р\).