Можете ли вы показать, что сумма чисел от 1 до 2021 делится на 2021?

Пуфик

49

Конечно! Давайте посмотрим, можно ли доказать, что сумма чисел от 1 до 2021 делится на 2021.

Мы знаем, что сумма чисел от 1 до \( n \) выражается формулой \( \frac{{n \cdot (n+1)}}{2} \). Давайте рассмотрим эту сумму для числа 2021:

\[ \frac{{2021 \cdot (2021+1)}}{2} = \frac{{2021 \cdot 2022}}{2} = 2043031. \]

Теперь нам нужно проверить, делится ли эта сумма на 2021.

Для этого мы можем использовать основную теорему арифметики, которая говорит, что если \( a \) делится на \( b \), а также \( a \) делится на \( c \), то \( a \) делится на их наименьшее общее кратное.

В нашем случае, сумма чисел от 1 до 2021 делится на \( 2021 = 43 \cdot 47 \). Поскольку 43 и 47 - простые числа и не имеют общих делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению самих чисел.

Таким образом, мы доказали, что сумма чисел от 1 до 2021 делится на 2021. Это можно выразить формулой:

\[ 2021 \mid \frac{{2021 \cdot (2021+1)}}{2}. \]

Надеюсь, это объяснение было понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы или что-то неясно, пожалуйста, сообщите мне.