Можно ли доказать периодичность функции у=сtg2/3x с положительным периодом Т=3п/2 и найти её область определения?

Панда

44

Конечно, давайте рассмотрим эту задачу подробно.

Мы имеем функцию \(y = \tan\left(\frac{2}{3}x\right)\). Чтобы доказать периодичность этой функции, нам нужно установить, существует ли такое положительное число \(T\), что функция \(y\) повторяется каждые \(T\) единиц времени.

Для начала давайте рассмотрим область определения этой функции. Функция тангенс определена для всех значений, кроме тех, для которых делитель равен нулю. В нашем случае, делитель равен \(\frac{2}{3}x\), поэтому областью определения будет любое значение \(x\), кроме тех, для которых \(\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь давайте перейдем к вопросу о периодичности функции. Чтобы показать, что функция \(y = \tan\left(\frac{2}{3}x\right)\) периодична с положительным периодом \(T = \frac{3\pi}{2}\), мы должны показать, что \(y(x) = y(x + T)\) для всех значений \(x\) из области определения, где \(T = \frac{3\pi}{2}\).

Мы знаем, что тангенс - это периодическая функция с периодом \(\pi\). Поэтому, чтобы доказать периодичность функции \(y = \tan\left(\frac{2}{3}x\right)\) с периодом \(T = \frac{3\pi}{2}\), мы можем заметить, что:

\[
\tan\left(\frac{2}{3}x + T\right) = \tan\left(\frac{2}{3}x + \frac{3\pi}{2}\right)
\]

Так как \(\frac{2}{3}x + \frac{3\pi}{2}\) является кратным числом \(\pi\), \(\tan\left(\frac{2}{3}x + \frac{3\pi}{2}\right)\) будет иметь те же значения, что и \(\tan\left(\frac{2}{3}x\right)\). Таким образом, функция \(y = \tan\left(\frac{2}{3}x\right)\) периодична с положительным периодом \(T = \frac{3\pi}{2}\).

Итак, ответ на задачу: функция \(y = \tan\left(\frac{2}{3}x\right)\) является периодической с положительным периодом \(T = \frac{3\pi}{2}\), и ее область определения включает все значения \(x\), кроме тех, для которых \(\frac{2}{3}x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число.