Можно ли получить полное описание уравнения U + 4U + 5U

Sinica

38

Конечно! Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Давайте раскроем его подробнее:

Уравнение у нас имеет вид:
\[U"" + 4U" + 5U = 0.\]

Для начала, обратим внимание, что индексы " и "" обозначают соответственно первую и вторую производные относительно независимой переменной, в данном случае - времени.

Чтобы решить это уравнение, предлагаю воспользоваться методом характеристического уравнения. Для этого представим решение уравнения в виде:
\[U(t) = e^{rt},\]
где \(r\) - некоторая константа.

Теперь подставим это представление в исходное уравнение:
\[U"" + 4U" + 5U = 0.\]
При подстановке получаем:
\[(e^{rt})"" + 4(e^{rt})" + 5(e^{rt}) = 0.\]
Теперь найдем первую и вторую производные от \(e^{rt}\):
\[(e^{rt})"" = r^2 e^{rt} \quad \text{и} \quad (e^{rt})" = r e^{rt}.\]
Подставим их в уравнение:
\[r^2 e^{rt} + 4r e^{rt} + 5e^{rt} = 0.\]

Теперь приведем подобные:
\[e^{rt} (r^2 + 4r + 5) = 0.\]
Так как экспонента \(e^{rt}\) всегда положительна, то уравнение будет иметь нулевым только множитель в скобках:
\[r^2 + 4r + 5 = 0.\]

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac,\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты данного квадратного уравнения.

В нашем случае:
\(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 5\).
Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4.\]

Однако, получили отрицательное значение дискриминанта. Это означает, что действительных корней нет, и решение будет комплексным.

Чтобы найти решение уравнения, нам понадобится комплексная формула корней квадратного уравнения:
\[r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения в формулу:
\[r_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1}.\]
Корень из отрицательного числа невозможен вещественный, поэтому будем использовать мнимую единицу \(i\), такая что \(i^2 = -1\).

Раскроем скобки:
\[r_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1}}{2}.\]
\[r_{1,2} = \frac{-4 \pm 2i}{2}.\]
\[r_{1,2} = -2 \pm i.\]

Таким образом, получаем два комплексных корня: \(r_1 = -2 + i\) и \(r_2 = -2 - i\).

Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
\[U(t) = C_1 e^{(-2+i)t} + C_2 e^{(-2-i)t},\]
где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили полное описание данного уравнения, используя метод характеристического уравнения, дискриминант и комплексную формулу корней.