Можно ли установить все тумблеры в положение, в котором каждый из них отличается от соседних тумблеров на 2 единицы?

Yarmarka_3135

28

Да, можно установить все тумблеры в положение, в котором каждый из них отличается от соседних тумблеров на 2 единицы. Рассмотрим решение шаг за шагом.

Пусть у нас есть \( n \) тумблеров, пронумерованных от 1 до \( n \). Для удобства представим каждый тумблер в виде числа -1 и +1, где -1 соответствует положению "внизу", а +1 - положению "вверху". Обозначим положение \( i \)-го тумблера как \( x_i \), где \( x_i \) может быть -1 или +1.

Условие задачи говорит о том, что каждый тумблер должен отличаться от своих соседей на 2 единицы. Или, иными словами, мы можем записать следующее уравнение:

\[ x_i - x_{i-1} = 2 \]

для всех \( i \) от 2 до \( n \), где \( x_0 \) - положение нулевого тумблера, которое мы можем установить без ограничений.

Также, чтобы удовлетворить условию задачи, последний тумблер должен отличаться от предпоследнего на 2 единицы:

\[ x_n - x_{n-1} = 2 \]

Мы можем представить эти уравнения в матричной форме:

\[ AX = B \]

где \( A \) - это матрица коэффициентов, \( X \) - вектор неизвестных (\( x_0, x_1, \ldots, x_n \)), и \( B \) - вектор правой части (2, 2, \ldots, 2).

Теперь решим эту систему уравнений методом Гаусса, чтобы найти значения каждого тумблера.

1. Приведем систему к ступенчатому виду:

\[ \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ \vdots \\ 2 \end{array} \right] \]

2. Найдем решение системы уравнений, начиная с последнего уравнения:

\[ x_n = 2 \]

3. Используя найденное значение \( x_n \), найдем \( x_{n-1} \):

\[ x_{n-1} = x_n - 2 = 0 \]

4. Продолжая этот процесс, мы можем выразить остальные \( x_i \) через предыдущие значения:

\[ x_i = x_{i+1} + 2 \]

Итак, мы находимся в положении установить все тумблеры в положение, в котором каждый из них отличается от соседних тумблеров на 2 единицы. К примеру, для первых пяти тумблеров мы получим следующий набор значений:

\[ (-1, 1, -1, 1, -1) \]

Подобным образом можно продолжить нахождение значений для любого количества тумблеров.