Мы предполагаем, что шайба и клин начинают движение из состояния покоя в Примере № 13. Массовое отношение между шайбой

Зайка

60

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии. Перед тем как приступить к решению, давайте разберемся с основными понятиями и формулами, которые мы будем использовать.

1. Масса шайбы обозначается как \(m\), а масса клина обозначается как \(M\).
2. Высота, на которую перемещается шайба, обозначается как \(h\).
3. В этой задаче дано массовое отношение между шайбой и клином (\(m/M = 0.2\)).
4. Ускорение свободного падения обозначается как \(g\) и принимает значение примерно \(9.8 \, м/с^2\) на Земле.

Теперь давайте рассмотрим пошаговое решение задачи:

Шаг 1: Найдем работу, совершенную силой трения при движении шайбы по клину на высоту \(h\). Для этого воспользуемся формулой работы:

\[ W = F \cdot s \cdot \cos(\theta) \]

где
\( F \) - сила трения,
\( s \) - перемещение шайбы по вертикали,
\( \theta \) - угол между направлением перемещения шайбы и направлением силы трения.

В этой задаче, сила трения выражается через ускорение свободного падения и массовое отношение:

\[ F = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \]

где \( \theta \) - угол наклона клина.

Таким образом, работа, совершенная силой трения:

\[ W = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \cdot s \cdot \cos(\theta) \]

Шаг 2: Зная работу, совершенную силой трения, мы можем использовать закон сохранения энергии, чтобы найти скорость шайбы в момент достижения высоты \(h\). В начальный момент шайба находится в состоянии покоя, поэтому ее начальная кинетическая энергия равна нулю. Из закона сохранения энергии:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - W \]

где \( v \) - скорость шайбы.

Подставив значение работы, получим:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - m \cdot g \cdot \sin(\theta) \cdot s \cdot \cos(\theta) \]

Шаг 3: Теперь мы можем решить это уравнение относительно скорости \( v \). После простых алгебраических преобразований получаем:

\[ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h + 2 \cdot g \cdot \sin(\theta) \cdot s \cdot \cos(\theta)} \]

Шаг 4: Наконец, мы можем найти время, которое потребуется шайбе, чтобы переместиться на высоту \( h \). Для этого воспользуемся формулой времени:

\[ T = \frac{s}{v} \]

Подставим значения скорости и \( s \):

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot h + 2 \cdot g \cdot \sin(\theta) \cdot s \cdot \cos(\theta)}} \]

И, наконец, заменим \( \sin(\theta) \) и \( \cos(\theta) \) через массовое отношение \( m/M \):

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot h + 2 \cdot g \cdot s \cdot \cos(\theta) \cdot s \cdot \sin(\theta)}} \]

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot h + 2 \cdot g \cdot s^2 \cdot \cos(\theta) \cdot \sin(\theta)}} \]

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot h + 2 \cdot g \cdot s^2 \cdot \cos(\theta) \cdot m/M}} \]

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot h + 2 \cdot g \cdot s^2 \cdot m/M}} \]

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot (h + s^2 \cdot m/M)}} \]

Таким образом, время, которое потребуется шайбе, чтобы переместиться на высоту \( h \), равно

\[ T = \frac{s}{\sqrt{2 \cdot g \cdot (h + s^2 \cdot m/M)}} \]

Подставьте известные значения \( h \), \( s \) и \( m/M \), чтобы получить окончательный ответ.