Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению sin2x=sinx-2sin(x-3pi/2)+1 на отрезке [3pi/2

Yaroslav_7305

5

Давайте разберёмся с уравнением пошагово.

Уравнение, которое нам дано: \(\sin^2x = \sin x - 2\sin(x-\frac{3\pi}{2}) + 1\)

Шаг 1: Перепишем данное уравнение с использованием формулы синуса двойного угла.

\(\sin^2x = \sin x - 2(\sin x \cdot \cos(\frac{3\pi}{2}) - \cos x \cdot \sin(\frac{3\pi}{2})) + 1\)

Шаг 2: Упростим выражение, используя значения синуса и косинуса для угла \(\frac{3\pi}{2}\).

\(\sin^2x = \sin x - 2(\sin x \cdot 0 - \cos x \cdot (-1)) + 1\)

\(\sin^2x = \sin x + 2\cos x + 1\)

Шаг 3: Приведём уравнение к одному виду и разложим квадрат синуса.

\(\sin^2x - \sin x - 2\cos x - 1 = 0\)

\((\sin x - 1)^2 - (1 + \cos^2 x - 1) - 2\cos x - 1 = 0\)

\((\sin x - 1)^2 - \cos^2 x - 2\cos x = 0\)

Шаг 4: Заменим \(\cos^2 x\) в уравнении, используя тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\).

\((\sin x - 1)^2 - (1 - \sin^2 x) - 2\cos x = 0\)

\((\sin x - 1)^2 - 1 + \sin^2 x - 2\cos x = 0\)

\(\sin^2 x - 2\sin x + 1 - 1 + \sin^2 x - 2\cos x = 0\)

\(2\sin^2 x - 2\sin x - 2\cos x = 0\)

\(\sin^2 x - \sin x - \cos x = 0\)

Шаг 5: Применим формулу синуса для разложения \(\cos x\), используя тождество \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}\).

\(\sin^2 x - \sin x - \sqrt{1 - \sin^2 x} = 0\)

Шаг 6: Обозначим \(\sin x = t\) для удобства.

\(t^2 - t - \sqrt{1 - t^2} = 0\)

Шаг 7: Возведём уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня.

\((t^2 - t - \sqrt{1 - t^2})^2 = 0\)

\(t^4 - 2t^3 + t^2 - t^2 + 2t + \sqrt{1 - t^2} - t^2\sqrt{1 - t^2} + t\sqrt{1 - t^2} = 0\)

\(t^4 - 2t^3 + t^2 - t^2 + 2t + \sqrt{1 - t^2}(1 - t^2 + t) = 0\)

\(t^4 - 2t^3 + t^2 - t^2 + 2t + \sqrt{1 - t^2}(1 - t^2 + t) = 0\)

Шаг 8: Сократим подобные слагаемые и упростим выражение.

\(t^4 - 2t^3 + 2t + \sqrt{1 - t^2} = 0\)

Шаг 9: Разложим на множители левую часть уравнения.

\((t^2-t\sqrt{2}+1)(t^2+t\sqrt{2}+1) = 0\)

Шаг 10: Решим два уравнения, полученных на предыдущем шаге.

\[
\begin{align*}
&t^2 - t\sqrt{2} + 1 = 0\\
&t^2 + t\sqrt{2} + 1 = 0\\
\end{align*}
\]

Шаг 11: Найдём корни для каждого уравнения.

Для \(t^2 - t\sqrt{2} + 1 = 0\):
\(t = \frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2-4}}{2} = \frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{-2}}{2} = \frac{\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2}\)

Для \(t^2 + t\sqrt{2} + 1 = 0\):
\(t = \frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{2-4}}{2} = \frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{-2}}{2} = \frac{-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2}\)

Шаг 12: Подставим обратно значения \(\sin x = t\) и решим для \(x\).

Для \(\sin x = \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{2}}{2}\):
\(x = \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2} + i\sqrt{2}}{2})\)

Для \(\sin x = \frac{\sqrt{2} - i\sqrt{2}}{2}\):
\(x = \sin^{-1}(\frac{\sqrt{2} - i\sqrt{2}}{2})\)

Полученные значения \(x\) являются решениями исходного уравнения на заданном отрезке \([3\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). Обратите внимание, что значения \(x\) записаны в радианах. Если вам необходимы конкретные значения в градусах, просто преобразуйте их, используя соответствующую формулу.

Надеюсь, эта пошаговая разборка помогла вам понять и решить данную задачу! Если возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их.