На каких значениях параметра b функция y=4x^3−12x убывает на отрезке [b+2;b+4]? 1. ответ: b= 2. В решении используется

Путник_С_Звездой

60

Итак, мы имеем функцию \(y=4x^3-12x\) и нужно найти значения параметра \(b\), при которых функция убывает на отрезке \([b+2, b+4]\).

Для того чтобы определить, когда функция убывает или возрастает, мы можем использовать производные. В данном случае нам понадобится первая производная функции.

Сначала найдем первую производную \(y"(x)\) функции \(y\):

\[y"(x) = 12x^2 - 12\]

Теперь мы можем определить, когда функция убывает или возрастает, обратив внимание на знак производной.

1. Если \(y"(x) > 0\), то функция \(y\) возрастает.
2. Если \(y"(x) < 0\), то функция \(y\) убывает.

Теперь подставим значения \([b+2, b+4]\) в производную \(y"(x)\), чтобы найти значения параметра \(b\), при которых функция убывает на заданном интервале.

1. Для значения \(b+2\):
\[y"(b+2) = 12(b+2)^2 - 12\]

2. Для значения \(b+4\):
\[y"(b+4) = 12(b+4)^2 - 12\]

Теперь решим неравенства:

1. \(y"(b+2) < 0\):
\[12(b+2)^2 - 12 < 0\]

2. \(y"(b+4) < 0\):
\[12(b+4)^2 - 12 < 0\]

Решим первое неравенство:

\[
\begin{align*}
12(b+2)^2 - 12 &< 0 \\
12(b+2)^2 &< 12 \\
(b+2)^2 &< 1 \\
-1 < b+2 < 1 \\
-3 < b < -1
\end{align*}
\]

Таким образом, получаем, что \(b\) должно находиться в интервале \(-3 < b < -1\), чтобы функция убывала на отрезке \([b+2, b+4]\).

Таким образом, ответом на задачу является \(b \in (-3, -1)\).