На какое число раз увеличится объем воздуха, когда адиабатически расширится сжатый воздух, давление которого составляет
На какое число раз увеличится объем воздуха, когда адиабатически расширится сжатый воздух, давление которого составляет 1 МПа при температуре 58 °C, до давления 50 кПа? Какая будет конечная температура и сколько работа будет произведена при изменении объема и давления?
Skvoz_Tmu 62
Для решения данной задачи мы можем использовать законы адиабатического процесса, идеального газа и выражение для работы, произведенной при изменении объема и давления. Начнем с объемного соотношения адиабатического процесса:\[
\frac{{V_1}}{{V_2}} = \left(\frac{{P_2}}{{P_1}}\right)^{\frac{{1}}{{\gamma}}}
\]
Где \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объемы, \(P_1\) и \(P_2\) - начальные и конечные давления, а \(\gamma\) - показатель адиабаты.
Теперь подставим известные значения:
\[
V_2 = V_1 \cdot \left(\frac{{P_2}}{{P_1}}\right)^{\frac{{1}}{{\gamma}}}
\]
Так же нам даны начальное давление \(P_1 = 1 \, \text{МПа} = 1 \times 10^6 \, \text{Па}\), начальная температура \(T_1 = 58 \, \text{°C} = 58 + 273.15 \, \text{K}\), конечное давление \(P_2 = 50 \, \text{кПа} = 50 \times 10^3 \, \text{Па}\) и показатель адиабаты для воздуха \(\gamma = 1.4\). Чтобы найти конечную температуру \(T_2\) и работу \(W\), нам также потребуется знание выражения для работы при адиабатическом процессе:
\[
W = \frac{{P_1 \cdot V_1 - P_2 \cdot V_2}}{{\gamma - 1}}
\]
Теперь подставим все значения и решим уравнения:
\[
V_2 = V_1 \cdot \left(\frac{{P_2}}{{P_1}}\right)^{\frac{{1}}{{\gamma}}}
\]
\[
V_2 = V_1 \cdot \left(\frac{{50 \times 10^3}}{{1 \times 10^6}}\right)^{\frac{{1}}{{1.4}}}
\]
\[
T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{{V_2}}{{V_1}}\right)^{\gamma - 1}
\]
\[
T_2 = (58 + 273.15) \cdot \left(\frac{{V_1 \cdot \left(\frac{{50 \times 10^3}}{{1 \times 10^6}}\right)^{\frac{{1}}{{1.4}}}}}{{V_1}}\right)^{1.4 - 1}
\]
\[
W = \frac{{1 \times 10^6 \cdot V_1 - 50 \times 10^3 \cdot V_1}}{{1.4 - 1}}
\]
\[
W = \frac{{1.4 \times 10^6 \cdot V_1}}{{0.4}}
\]
Теперь можем решить уравнения численно, подставив начальный объем \(V_1\):
\[
V_2 = V_1 \cdot \left(\frac{{50 \times 10^3}}{{1 \times 10^6}}\right)^{\frac{{1}}{{1.4}}}
\]
\[
T_2 = (58 + 273.15) \cdot \left(\frac{{V_1 \cdot \left(\frac{{50 \times 10^3}}{{1 \times 10^6}}\right)^{\frac{{1}}{{1.4}}}}}{{V_1}}\right)^{1.4 - 1}
\]
\[
W = \frac{{1.4 \times 10^6 \cdot V_1}}{{0.4}}
\]
Подставив начальный объем \(V_1\), мы сможем найти все остальные значения: \(V_2\), \(T_2\) и \(W\).