На каком интервале x график функции y=f(x) положителен?

Роман

68

Для того чтобы определить интервалы, на которых график функции \(y = f(x)\) положителен, нам нужно проанализировать поведение функции в различных областях.

Шаг 1: Найти точки, где функция пересекает ось \(x\) или ось \(y\). Чтобы это сделать, приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение \(f(x) = 0\). Пусть эти точки будут \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).

Шаг 2: Найти интервалы между этими точками и анализировать знак функции \(f(x)\) в каждом интервале. Для этого можно выбрать тестовые значения \(x\) внутри каждого интервала и вычислить значение функции \(f(x)\).

Шаг 3: Изучить знак функции \(f(x)\) на каждом интервале. Если \(f(x)\) положительна на интервале, то значит, график функции на этом интервале будет выше оси \(x\). Если \(f(x)\) отрицательна на интервале, то график функции будет ниже оси \(x\).

Шаг 4: Резюмируя результаты из шага 3, мы можем сказать, на каких интервалах график функции \(y = f(x)\) будет положителен.

Давайте рассмотрим пример для более наглядного объяснения:

Пусть дана функция \(y = f(x) = x^2 - 3x + 2\). Мы хотим найти интервалы, на которых график функции положителен.

Шаг 1: Найдем точки, где функция пересекает ось \(x\) или ось \(y\), приравняв \(f(x)\) к нулю:
\(x^2 - 3x + 2 = 0\)

Для этого квадратного уравнения решим его факторизацией:
\((x - 1)(x - 2) = 0\)

Отсюда получаем две точки:
\(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\)

Шаг 2: Найдем интервалы между этими точками и проанализируем знак функции \(f(x)\) в каждом интервале:

a) Когда \(x < 1\):
Возьмем значение \(x = 0\) (любое значение меньше 1) и подставим его в функцию:
\(f(0) = (0)^2 - 3(0) + 2 = 2 > 0\)

Знак функции \(f(x)\) положителен на интервале \((-∞, 1)\)

b) Когда \(1 < x < 2\):
Возьмем значение \(x = 1.5\) (любое значение между 1 и 2) и подставим его в функцию:
\(f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = -0.25 < 0\)

Знак функции \(f(x)\) отрицателен на интервале \((1, 2)\)

c) Когда \(x > 2\):
Возьмем значение \(x = 3\) (любое значение больше 2) и подставим его в функцию:
\(f(3) = (3)^2 - 3(3) + 2 = 2 > 0\)

Знак функции \(f(x)\) положителен на интервале \((2, +∞)\)

Шаг 3: Суммируя результаты, мы можем сказать, что график функции \(y = f(x)\) положителен на интервалах \((-∞, 1)\) и \((2, +∞)\)

Надеюсь, это помогло вам лучше понять, как найти интервалы, на которых график функции положителен. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.