На каком расстоянии находится дом от дачи, если Паша и Саша отправились туда одновременно на велосипеде и мотоцикле

Veselyy_Pirat

40

Давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, давайте представим, что дом находится на расстоянии \( x \) километров от дачи.

Пусть скорость велосипедиста (Паши) будет обозначаться как \( V_p \) км/ч, а скорость мотоциклиста (Саши) - \( V_m \) км/ч.

Из условия задачи мы знаем, что Саша достиг дачи на 2 часа раньше Паши. Это означает, что время, которое потратил Саша на поездку, составляет \( t_m = t_p - 2 \) часа, где \( t_m \) - время, которое потратил Саша, а \( t_p \) - время, которое потратил Паша.

Теперь мы можем записать формулы для расстояний, скоростей и времени:

Расстояние (дом от дачи) равно сумме расстояний, пройденных каждым мальчиком:
\[ x = V_p \cdot t_p \]
\[ x = V_m \cdot t_m \]

Теперь мы знаем, что Саша ехал на скорости, превышающей скорость Паши на 10 км/ч, то есть \( V_m = V_p + 10 \).

Мы также знаем, что \( t_m = t_p - 2 \).

Теперь давайте заменим переменные во втором уравнении, чтобы получить уравнение только с одной переменной:

\[ x = (V_p + 10) \cdot (t_p - 2) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ x = V_p \cdot t_p - 2V_p + 10t_p - 20 \]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[ x = V_p \cdot t_p + 10t_p - 2V_p - 20 \]

Объединим и перегруппируем слагаемые:

\[ x = (V_p \cdot t_p - 2V_p) + 10t_p - 20 \]

Факторизуем:

\[ x = V_p(t_p - 2) + 10t_p - 20 \]

Из этого уравнения мы можем видеть, что расстояние \( x \) выражается линейной комбинацией \( V_p \) и \( t_p \).

Теперь мы можем сформулировать следующее уравнение, которое свяжет \( x \) и \( V_p \):

\[ x = V_p(t_p - 2) + 10t_p - 20 \quad \quad (1) \]

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение, которое связывает расстояние \( x \) и \( V_m \):

\[ x = (V_p + 10) \cdot t_p \quad \quad (2) \]

Уравнение (2) также выражает расстояние \( x \) линейной комбинацией \( V_p \) и \( t_p \).

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), связывающих расстояние, скорости и время движения мальчиков.

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения \( V_p \) и \( V_m \) в терминах расстояния \( x \).

Подставим уравнение (2) в уравнение (1), чтобы избавиться от переменной \( x \) и получить одно уравнение с одной переменной \( t_p \):

\[ (V_p + 10) \cdot t_p = V_p(t_p - 2) + 10t_p - 20 \]

Раскроем скобки:

\[ V_p \cdot t_p + 10t_p = V_p \cdot t_p - 2V_p + 10t_p - 20 \]

Выразим \( V_p \) относительно \( t_p \):

\[ 10t_p = -2V_p + 20 \]

\[ V_p = \frac{10t_p - 20}{-2} \]

Упростим:

\[ V_p = -5t_p + 10 \quad \quad (3) \]

Теперь мы можем заменить \( V_p \) в уравнении (2) и решить его относительно \( t_p \):

\[ x = (-5t_p + 10 + 10) \cdot t_p \]

\[ x = -5t_p^2 + 20t_p \]

\[ 0 = -5t_p^2 + 20t_p - x \quad \quad (4) \]

Уравнение (4) представляет собой квадратное уравнение относительно \( t_p \), а \( x \) является известным значением расстояния.

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ t_p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где в нашем случае:

\[ a = -5, \quad b = 20, \quad c = -x \]

Теперь, когда мы найдем значение \( t_p \), мы сможем вычислить значения \( V_p \) и \( V_m \) с использованием уравнений (3) и (2).

Таким образом, было найдено пошаговое решение задачи. Это достаточно подробно и обосновано, чтобы было понятно школьнику.