What is the value of sin(a-b) given that sina = 3/5, пи/2 < a < пи; sin b = - 4/5, пи < B < 3пи/2?

Мартышка

62

Чтобы найти значение sin(a-b), мы можем использовать формулу для разности двух углов:

\[\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]

Дано, что \(\sin a = \frac{3}{5}\) и \(\sin b = -\frac{4}{5}\).

Чтобы найти значение \(\sin a\), мы можем использовать соотношение между синусом и косинусом: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Если мы знаем значение \(\sin a\), мы можем использовать это равенство, чтобы найти значение \(\cos a\).

Воспользуемся формулой для нахождения \(\cos a\):

\[\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a}\]

Подставляем значение \(\sin a = \frac{3}{5}\):

\[\cos a = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]

Теперь у нас есть значения \(\sin a\) и \(\cos a\).

Аналогично, для нахождения \(\cos b\) мы можем использовать соотношение \(\sin^2 b + \cos^2 b = 1\). Но так как нам дано значение \(\sin b = -\frac{4}{5}\), мы можем использовать отрицательный квадрант 2, где \(\cos b < 0\).

Воспользуемся формулой для нахождения \(\cos b\):

\[\cos b = -\sqrt{1 - \sin^2 b} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}\]

Теперь у нас есть значения \(\cos b\) и \(\sin b\).

Возвращаясь к исходному вопросу, с использованием формулы для разности двух углов:

\[\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\]

Подставляем значения:

\[\sin(a-b) = \left(\frac{3}{5}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{4}{5}\right)\]

Решаем:

\[\sin(a-b) = -\frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{25}{25} = -1\]

Таким образом, значение \(\sin(a-b)\) равно -1.