На каком расстоянии следует поместить опору под стержнем для уравновешивания конструкции, состоящей из двух однородных

Лизонька

10

Для решения данной задачи мы можем использовать принцип моментов равнодействующих. Этот принцип гласит, что сумма моментов всех сил, действующих на тело, должна быть равной нулю.

Давайте рассмотрим стержень в центре масс, выбрав его в качестве оси вращения. В таком случае, суммарный момент силы тяжести шаров должен быть равен суммарному моменту силы тяжести стержня.

Момент силы тяжести шара можно выразить как произведение массы шара на расстояние от центра вращения до точки подвеса шара. Пусть расстояние от оси вращения до опоры стержня будет равно \(x\).

Момент силы тяжести первого шара (массой 32 кг и радиусом 10 см) будет равен \(M_1 = 32 \cdot g \cdot x_1\), где \(g\) - ускорение свободного падения, примерно равное \(9.8 \, \text{м/с}^2\).

Момент силы тяжести второго шара (массой 17 кг и радиусом 8 см) будет равен \(M_2 = 17 \cdot g \cdot x_2\).

Момент силы тяжести стержня (массой 3 кг) будет равен \(M_3 = 3 \cdot g \cdot x_3\).

Суммируя все моменты и приравнивая их к нулю, получаем уравнение:
\[M_1 + M_2 + M_3 = 0\]

Подставим значения масс, радиусов и длины стержня:
\[32 \cdot g \cdot x_1 + 17 \cdot g \cdot x_2 + 3 \cdot g \cdot x_3 = 0\]

Теперь нам нужно выразить все неизвестные расстояния, используя геометрические соотношения.

Высота треугольника, образованного радиусами шаров и стержнем, равна разности радиусов: \(h = (10 - 8) \, \text{см} = 2 \, \text{см}\).

Для подобных треугольников можно записать отношение соответствующих сторон:
\(\frac{x_1}{10 \, \text{см}} = \frac{x_3}{24 \, \text{см}}\).

Аналогично, для второго шара:
\(\frac{x_2}{8 \, \text{см}} = \frac{x_3}{24 \, \text{см}}\).

Теперь мы можем переписать эти отношения в виде уравнений:
\[x_1 = \frac{10 \, \text{см} \cdot x_3}{24 \, \text{см}}\]
\[x_2 = \frac{8 \, \text{см} \cdot x_3}{24 \, \text{см}}\]

Подставим эти значения в уравнение моментов:
\[32 \cdot g \cdot \left(\frac{10 \, \text{см} \cdot x_3}{24 \, \text{см}}\right) + 17 \cdot g \cdot \left(\frac{8 \, \text{см} \cdot x_3}{24 \, \text{см}}\right) + 3 \cdot g \cdot x_3 = 0\]

Сократим на \(g\) и упростим уравнение:
\[\frac{32 \cdot 10 \cdot x_3}{24} + \frac{17 \cdot 8 \cdot x_3}{24} + 3 \cdot x_3 = 0\]
\[\frac{320 \cdot x_3 + 136 \cdot x_3 + 72 \cdot x_3}{24} = 0\]

Теперь сложим все коэффициенты при \(x_3\):
\[\frac{528 \cdot x_3}{24} = 0\]

Разделим обе части уравнения на \(\frac{528}{24}\):
\[x_3 = 0 \, \text{см}\]

Таким образом, опора стержня должна находиться прямо под его центром масс.