На каком расстоянии следует расположить два других шарика массами 4m и m/2, чтобы их гравитационная сила притяжения

Morskoy_Korabl

9

Для решения данной задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что гравитационная сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Итак, у нас есть две маленькие шарики с массами m, которые расположены на расстоянии d. Мы хотим найти расстояние между двумя другими шариками с массами 4m и m/2, чтобы их гравитационная сила притяжения была вдвое больше, чем f.

Давайте обозначим массу первого шарика как M1 = 4m и массу второго шарика как M2 = m/2. Также обозначим искомое расстояние между ними как x.

Тогда гравитационная сила притяжения между первым и вторым шариками может быть выражена следующим образом:

\[ F = G \cdot \frac{{M1 \cdot M2}}{{x^2}} \]

Где F - искомая гравитационная сила притяжения, G - гравитационная постоянная.

Теперь мы хотим найти расстояние x, когда F вдвое больше, чем гравитационная сила притяжения между двумя маленькими шариками с массами m, расположенными на расстоянии d. Обозначим эту гравитационную силу как f:

\[ f = G \cdot \frac{{m \cdot m}}{{d^2}} \]

Мы должны найти такое расстояние x, при котором гравитационная сила притяжения будет вдвое больше, чем f:

\[ 2f = G \cdot \frac{{M1 \cdot M2}}{{x^2}} \]

Разделив обе части уравнения на f и переупорядочивая, получим:

\[ \frac{{2f}}{{f}} = \frac{{G \cdot \frac{{M1 \cdot M2}}{{x^2}}}}{{G \cdot \frac{{m \cdot m}}{{d^2}}}} \]

Упростив выражение, получим:

\[ 2 = \frac{{M1 \cdot M2 \cdot d^2}}{{m^2 \cdot x^2}} \]

Далее, чтобы избавиться от деления на x^2, умножим обе части уравнения на x^2:

\[ 2x^2 = \frac{{M1 \cdot M2 \cdot d^2}}{{m^2}} \]

Теперь, чтобы найти x, поделим обе части уравнения на 2 и возьмем квадратный корень:

\[ x = \sqrt{\frac{{M1 \cdot M2 \cdot d^2}}{{2 \cdot m^2}}} \]

Подставляя значения M1 = 4m, M2 = m/2 и упрощая выражение, получим итоговый ответ:

\[ x = \sqrt{\frac{{4m \cdot \frac{{m}}{{2}} \cdot d^2}}{{2 \cdot m^2}}} \]

Учитывая что 4m = 2m, можно упростить выражение еще больше:

\[ x = \sqrt{\frac{{2m \cdot \frac{{m}}{{2}} \cdot d^2}}{{2 \cdot m^2}}} \]

Упрощая дальше, получим:

\[ x = \sqrt{\frac{{\cancel{2}m \cdot \frac{{m}}{{\cancel{2}}}}}{\cancel{2}m}} \cdot d \]

Наконец, упрощая, получаем ответ:

\[ x = \sqrt{m \cdot \frac{{m}}{{m}}} \cdot d \]

\[ x = \sqrt{m \cdot 1} \cdot d \]

\[ x = \sqrt{m} \cdot d \]

Таким образом, расстояние между двумя другими шариками должно быть равно корню из m, умноженному на d.