На какой глубине (в метрах) закончили рабочие выкапывать колодец, если за первый метр глубины им заплатили 1200 рублей

Лёля

7

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Пусть \(х\) будет количеством метров, на котором закончили работники выкапывать колодец. Также пусть \(у\) будет стоимостью одного метра глубины. Нам дана информация о том, что за первый метр глубины работники получили 1200 рублей, а за каждый следующий метр они получали на 300 рублей больше, чем за предыдущий.

Мы можем выразить стоимость выкопанного метра глубины следующим образом:
\[у + (у + 300) + (у + 600) + \ldots\]

Сумма всех этих выражений равна 14700 рублей, так как это общая сумма, которую работники получили за выполненную работу.

Теперь можем записать уравнение для данной суммы:
\[1200 + у + (у + 300) + (у + 600) + \ldots = 14700\]

Заметим, что мы можем представить это уравнение в виде арифметической прогрессии:
\[1200 + у + (у + 300) + (у + 600) + \ldots = 14700\]
\[1200 + у + (у + 300) + (у + 600) + \ldots + (у + (х - 1) \cdot 300) = 14700\]

Давайте найдем количество членов этой арифметической прогрессии. Обозначим его как \(n\). Мы можем воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)\]
где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a\) - первый член, \(d\) - разность прогрессии.

В нашем случае, первый член \(a = у\), разность прогрессии \(d = 300\) и сумма \(S_n = 14700\). Так как первый член равен 1200 рублям, мы можем записать:
\[1200 + у + (у + 300) + (у + 600) + \ldots + (у + (х - 1) \cdot 300) = \frac{n}{2}(2у + (n - 1)300) = 14700\]

Необходимо решить это уравнение относительно неизвестного \(n\):
\[14700 = \frac{n}{2}(2у + 300n - 300)\]
\[14700 = \frac{n}{2}(300n + 2у - 300)\]
\[29400 = n(300n + 2у - 300)\]
\[29400 = 300n^2 + 2уn - 300n\]
\[300n^2 + 2уn - 300n - 29400 = 0\]

Теперь можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена.