На какой высоте кинетическая энергия камня станет втрое меньше, чем на начальной высоте, после того, как он был брошен

Павел

40

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения механической энергии. В данном случае, мы сравниваем начальную кинетическую энергию камня с его потенциальной энергией на некоторой высоте \(h\).

Начальная формула для кинетической энергии выглядит следующим образом:

\[ K_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 \]

где \( K_0 \) - начальная кинетическая энергия камня, \( m \) - масса камня и \( v_0 \) - начальная скорость камня.

Также у нас есть формула для потенциальной энергии на высоте \( h \):

\[ P = m g h \]

где \( P \) - потенциальная энергия, \( m \) - масса камня, \( g \) - ускорение свободного падения и \( h \) - высота.

В данной задаче после броска вверх, скорость нашего камня будет уменьшаться, пока он не достигнет некоторой максимальной высоты. После этого, камень начнет падать вниз, и его потенциальная энергия будет увеличиваться. Мы хотим узнать высоту, при которой кинетическая энергия станет втрое меньше начальной кинетической энергии.

Давайте начнем, найдем начальную кинетическую энергию. Мы знаем начальную скорость \( v_0 = 12 \, \text{м/с} \) и предположим, что масса камня \( m \) равна 1 кг.

\[ K_0 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (12)^2 = 72 \, \text{Дж} \]

Теперь давайте найдем высоту \( h \), при которой кинетическая энергия станет втрое меньше начальной кинетической энергии.

\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]

\[ K = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2 \]

\[ K = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (0)^2 = 0 \, \text{Дж} \]

Мы знаем, что \( K = \frac{1}{3} K_0 \), поэтому можем записать эту формулу:

\[ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v^2 = \frac{1}{3} \cdot 72 \]

Упрощая уравнение, получаем:

\[ v^2 = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 2 \]

\[ v^2 = 48 \]

\[ v = \sqrt{48} \approx 6.93 \, \text{м/с} \]

Теперь, чтобы найти высоту \( h \), мы можем использовать формулу для потенциальной энергии:

\[ P = m g h \]

Перепишем формулу, выражая \( h \):

\[ h = \frac{P}{m g} \]

\[ h = \frac{2/3 K_0}{m g} \]

\[ h = \frac{2/3 \cdot 72}{1 \cdot 9.8} \]

\[
h = \frac{48}{9.8} \approx 4.9 \, \text{м}
\]

Таким образом, кинетическая энергия камня станет втрое меньше, чем на начальной высоте, при высоте около 4.9 метров.