На какой высоте над чертежной доской нужно разместить лампочку мощностью 300 ватт, чтобы освещенность доски

Chaynyy_Drakon

58

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для светового потока \( \Phi \), состоящего из испускаемого световым источником потока \( \Phi_s \) и светового потока \( \Phi_r \), отражающегося от поверхности. Формула для светового потока:

\[ \Phi = \Phi_s + \Phi_r \]

У нас есть данные по испускаемому световому потоку \( \Phi_s \) (равен 4π лм), мощности лампочки P (равна 300 Вт) и световой эффективности лампочки (равна 15 лм/Вт). Для начала посчитаем испускаемый световой поток:

\[ \Phi_s = P \times \text{{световая эффективность}} \]

\[ \Phi_s = 300 \times 15 = 4500 \text{{ лм}} \]

Теперь рассмотрим отраженный световой поток \( \Phi_r \). У нас есть данные о световом потоке под лампочкой (60 лк), угле наклона доски (30 градусов) и расстоянии между точечным источником и поверхностью доски.

Для начала нам необходимо найти световой поток \( \Phi_r \) под лампочкой. Он равен произведению освещенности \( E \) и площади \( A \):

\[ \Phi_r = E \times A \]

Найдем площадь \( A \) под лампочкой с учетом угла наклона доски. Для этого воспользуемся тригонометрией. Площадь равна длине отрезка, по которому проецируется свет, умноженной на ширину доски. Расчет можно произвести с помощью формулы

\[ A = L \times W \]

где \( L \) - длина отрезка проекции света, а \( W \) - ширина доски.

По теореме синусов находим длину отрезка \( L \):

\[ L = \frac{{h}}{{\sin(\alpha)}} \]

где \( h \) - расстояние от лампочки до доски (высота над доской), \( \alpha \) - угол наклона доски (в радианах). Преобразуем угол наклона доски в радианы:

\[ \alpha = \frac{{30 \times \pi}}{{180}} = \frac{{\pi}}{{6}} \]


Формула принимает вид:

\[ L = \frac{{h}}{{\sin(\frac{{\pi}}{{6}})}} \]

А площадь \( A \) будет:

\[ A = L \times W \]

Теперь, зная площадь \( A \) и освещенность \( E \) (60 люкс), найдем световой поток \( \Phi_r \):

\[ \Phi_r = E \times A \]

После этого мы можем снова использовать формулу для светового потока и найти неизвестное расстояние \( h \):

\[ \Phi = \Phi_s + \Phi_r \]

\[ 4500 = \Phi_s + \Phi_r \]

\[ 4500 = 4500 + \Phi_r \]

\[ \Phi_r = 0 \]

Таким образом, для того чтобы достичь освещенности 60 люкс на доске под лампочкой, необходимо разместить лампочку на высоте \( h \), при которой отраженный световой поток \( \Phi_r \) равен нулю. Отраженный световой поток равен нулю, когда площадь под лампочкой максимальна, и при этом весь свет попадает на доску без отражения.

Подставляя полученное значение \( \Phi_r = 0 \) в формулу \( \Phi = \Phi_s + \Phi_r \), получаем:

\[ 4500 = 4500 + 0 \]

Условие выполняется при любой высоте лампочки \( h \), поскольку отраженный световой поток \( \Phi_r \) равен нулю.

Чтобы подтвердить это, можно рассмотреть предельные значения высоты \( h \):
- Если лампочка находится слишком низко, отраженный световой поток будет больше нуля, поэтому освещенность будет больше 60 люкс.
- Если лампочка находится слишком высоко, освещенность будет меньше 60 люкс.

Так что, независимо от высоты лампочки, освещенность доски под лампой будет составлять 60 люкс.