На какую максимальную угловую скорость можно увеличить вращение диска, чтобы грузик не начал скользить? Грузик

Владимир

52

Чтобы ответить на этот вопрос, нам потребуется понимание основ законов физики, связанных с вращением и трением. Начнем с формулировки условия, которое требуется удовлетворить, чтобы грузик не начал скользить.

Нам дан радиус расположения грузика от оси вращения (r = 0,2 см) и коэффициент трения. Если грузик начинает скользить, это означает, что сила трения достигла предельного значения и превысила силу центробежного ускорения, препятствуя скольжению.

Теперь нам нужно найти максимальную угловую скорость, при которой грузик не начнет скользить. Для этого мы можем использовать следующую формулу:

\[\tau = r \cdot F_{\text{тр}}\]

где \(\tau\) - момент силы трения, \(r\) - радиус расположения грузика от оси вращения и \(F_{\text{тр}}\) - сила трения.

Зная, что момент силы равен произведению силы на ее плечо, можем заменить момент силы трения:

\(\tau = r \cdot F_{\text{тр}} = r \cdot \mu \cdot F_{\text{п}}\)

где \(\mu\) - коэффициент трения, а \(F_{\text{п}}\) - нормальная сила (сила, действующая перпендикулярно поверхности).

Чтобы избежать скольжения, момент силы трения должен быть меньше или равен моменту центробежного ускорения. Момент центробежного ускорения выражается следующей формулой:

\(I \cdot \alpha\),

где \(I\) - момент инерции и \(\alpha\) - угловое ускорение.

Для диска массой \(m\) и радиусом \(r\), момент инерции вычисляется следующим образом:

\(I = \frac{1}{2}m \cdot r^2\).

Теперь мы можем сравнить момент силы трения \(\tau\) и момент центробежного ускорения \(I \cdot \alpha\):

\(\tau \leq I \cdot \alpha\).

Подставим значения:

\(r \cdot \mu \cdot F_{\text{п}} \leq \frac{1}{2}m \cdot r^2 \cdot \alpha\).

Теперь избавимся от \(F_{\text{п}}\) с помощью второго закона Ньютона:

\(F_{\text{п}} = m \cdot g\),

где \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим это значение:

\(r \cdot \mu \cdot m \cdot g \leq \frac{1}{2}m \cdot r^2 \cdot \alpha\).

Теперь можно сократить массу \(m\) с обеих сторон уравнения:

\(r \cdot \mu \cdot g \leq \frac{1}{2}r^2 \cdot \alpha\).

Избавимся от радиуса \(r\), разделив обе части на \(r\):

\(\mu \cdot g \leq \frac{1}{2}r \cdot \alpha\).

Мы видим, что \(r\) и \(\mu\) уже известны, а нам нужно найти \(\alpha\) (угловое ускорение). Для этого перепишем уравнение:

\(\alpha \geq \frac{2 \cdot \mu \cdot g}{r}\).

Таким образом, максимально допустимое угловое ускорение \(\alpha\) будет равно:

\(\alpha_{\text{max}} = \frac{2 \cdot \mu \cdot g}{r}\).

Для данной задачи, чтобы грузик не начал скользить, максимально допустимое угловое ускорение будет равно \(10 \cdot \mu\), где \(\mu\) - коэффициент трения.

Позвольте привести пример численного решения. Пусть коэффициент трения \(\mu = 0,4\), а ускорение свободного падения \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\). Расстояние от оси вращения \(r = 0,2 \, \text{см}\).

Максимальная угловая скорость будет:

\(\alpha_{\text{max}} = \frac{2 \cdot 0,4 \cdot 9,8}{0,2} = 39,2 \, \text{рад/с}\).

Таким образом, максимально допустимая угловая скорость, чтобы грузик не начал скользить, равна \(39,2 \, \text{рад/с}\).