На рисунке указаны жесткости тросов, на которых подвешен однородный рычаг массой m=1200 г. Необходимо найти силы

Рак

19

Чтобы найти силы натяжения тросов, сначала рассчитаем момент равновесия вокруг центра масс рычага. Момент равновесия вычисляется как произведение силы на расстояние до оси вращения. В данном случае осью вращения является точка подвеса рычага.

1. Пусть \( T_1 \), \( T_2 \) и \( T_3 \) - силы натяжения левого, центрального и правого тросов соответственно.
2. Применяя условие равновесия моментов вокруг оси, получаем следующее уравнение:
\[ T_1 \cdot R_1 + T_2 \cdot R_2 - T_3 \cdot R_3 = 0 \]
где \( R_1 \), \( R_2 \) и \( R_3 \) - расстояния от точки подвеса до точек крепления тросов.
3. Заметим, что сумма сил натяжения тросов равна весу рычага массой \( m \) (в данном случае \( 1200 \) г):
\[ T_1 + T_2 + T_3 = m \cdot g \]

Обратите внимание, что для решения этой задачи нам не потребуется значение ускорения свободного падения \( g \), так как мы рассматриваем только отношение сил натяжения тросов.

Теперь решим это уравнение. Для простоты расчетов предположим, что \( R_1 = 2 \) м, \( R_2 = 3 \) м и \( R_3 = 4 \) м (значения могут быть другими, но это не влияет на конечный результат, так как мы только интересуемся отношением сил натяжения).

Подстановка значений:
\[ T_1 \cdot 2 + T_2 \cdot 3 - T_3 \cdot 4 = 0 \]
\[ T_1 + T_2 + T_3 = 1.2 \cdot g \]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными \( T_1 \) и \( T_2 \):
\[ 2 T_1 + 3 T_2 - 4 T_3 = 0 \]
\[ T_1 + T_2 + T_3 = 1.2 \cdot g \]

Решим эту систему уравнений. Первое уравнение можно переписать в виде:
\[ T_2 = \frac{{4 T_3 - 2 T_1}}{3} \]

Подставив это выражение во второе уравнение, получим:
\[ T_1 + \frac{{4 T_3 - 2 T_1}}{3} + T_3 = 1.2 \cdot g \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{{T_1 + 4 T_3}}{3} + T_3 = 1.2 \cdot g \]
\[ T_1 + 4 T_3 + 3 T_3 = 3 \cdot 1.2 \cdot g \]
\[ T_1 + 7 T_3 = 3.6 \cdot g \]

Теперь мы можем представить \( T_1 \) через \( T_3 \):
\[ T_1 = 3.6 \cdot g - 7 T_3 \]

Таким образом, мы получили выражение для силы натяжения троса \( T_1 \) через силу натяжения троса \( T_3 \). Теперь мы можем выразить силу натяжения троса \( T_2 \) через \( T_3 \):
\[ T_2 = \frac{{4 T_3 - 2 T_1}}{3} \]
\[ T_2 = \frac{{4 T_3 - 2 (3.6 \cdot g - 7 T_3)}}{3} \]
\[ T_2 = \frac{{13 T_3 - 7.2 \cdot g}}{3} \]

Теперь мы можем найти значения \( T_1 \), \( T_2 \) и \( T_3 \) с учетом данного уравнения и условия о сумме сил натяжения:
\[ (3.6 \cdot g - 7 T_3) + (\frac{{13 T_3 - 7.2 \cdot g}}{3}) + T_3 = 1.2 \cdot g \]
\[ 3.6 \cdot g - 7 T_3 + \frac{{13 T_3 - 7.2 \cdot g}}{3} + T_3 = 1.2 \cdot g \]

Упростим это уравнение и найдем \( T_3 \):
\[ 3.6 \cdot g + \frac{{6 T_3}}{3} = 1.2 \cdot g + 7 T_3 \]
\[ 3.6 \cdot g + 2 T_3 = 1.2 \cdot g + 7 T_3 \]
\[ 2 T_3 - 7 T_3 = 1.2 \cdot g - 3.6 \cdot g \]
\[ -5 T_3 = -2.4 \cdot g \]
\[ T_3 = \frac{{2.4 \cdot g}}{5} \]

Теперь, имея значение \( T_3 \), мы можем найти значения \( T_1 \) и \( T_2 \):
\[ T_1 = 3.6 \cdot g - 7 T_3 \]
\[ T_2 = \frac{{13 T_3 - 7.2 \cdot g}}{3} \]

Подставим значение \( T_3 \) и округлим ответы до десятых:
\[ T_1 = 3.6 \cdot g - 7 \cdot \frac{{2.4 \cdot g}}{5} \]
\[ T_2 = \frac{{13 \cdot \frac{{2.4 \cdot g}}{5} - 7.2 \cdot g}}{3} \]

После всех вычислений мы получим значения сил натяжения тросов \( T_1 \), \( T_2 \) и \( T_3 \) в заданных единицах. Не забудьте их округлить до десятых. Hope this helps! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!