На скільки разів потрібно збільшити радіус колової орбіти штучного супутника Землі, щоб частота його обертання

Загадочный_Пейзаж

22

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся формулами, связанными с центростремительным ускорением и линейной скоростью. Пусть \(r_1\) и \(v_1\) обозначают исходный радиус и линейную скорость штучного спутника, а \(r_2\) и \(v_2\) - новый радиус и линейная скорость.

Центростремительное ускорение \(a_c\) на орбите связано с линейной скоростью \(v\) и радиусом \(r\) следующей формулой:

\[a_c = \frac{{v^2}}{r}\]

Мы хотим, чтобы частота обращения спутника \(f\) уменьшилась в 6 раз, поэтому, исходя из определения частоты и центростремительного ускорения, имеем:

\[f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{2\pi}\frac{v_2}{r_2}\]
\[f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{2\pi}\frac{v_1}{r_1}\]

где \(T_1\) и \(T_2\) обозначают периоды обращения спутника до и после изменения радиуса соответственно.

Также мы хотим, чтобы линейная скорость спутника уменьшилась в 3 раза, поэтому:

\[v_2 = \frac{v_1}{3}\]

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих \(f_1\), \(r_1\), \(v_1\) с \(f_2\), \(r_2\), \(v_2\), и мы можем решить их относительно \(r_2\).

Подставим \(v_2\) в уравнение для \(f_2\):

\[f_2 = \frac{1}{2\pi}\frac{v_2}{r_2} = \frac{1}{2\pi}\frac{v_1}{3r_2}\]

Теперь равенство \(f_1 = 6f_2\) дает нам:

\[\frac{1}{2\pi}\frac{v_1}{r_1} = 6 \cdot \frac{1}{2\pi}\frac{v_1}{3r_2} \Rightarrow \frac{1}{r_1} = \frac{2}{r_2}\]

Из этого уравнения можно найти отношение радиусов:

\[\frac{r_2}{r_1} = 2\]

Следовательно, чтобы частота обращения спутника уменьшилась в 6 раз и линейная скорость уменьшилась в 3 раза, радиус орбиты должен быть увеличен в 2 раза.

Таким образом, необходимо увеличить радиус коловой орбиты штучного спутника Земли в 2 раза.