На сколько больше один катет прямоугольного треугольника, чем другой, если площадь треугольника составляет

Svetlyachok_V_Lesu

66

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу площади прямоугольного треугольника \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( S \) - площадь треугольника, а \( a \) и \( b \) - длины катетов.

Итак, дано, что площадь треугольника составляет 135 м². Подставим эту величину в формулу площади:

\[ 135 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Чтобы найти разницу между длинами катетов, нам необходимо знать, какая из длин является большей. Пусть \( a \) будет большим катетом, а \( b \) - меньшим катетом. Тогда величина разницы будет равна \( a - b \).

Давайте выразим \( a \) через \( b \) из уравнения площади и подставим это выражение в формулу для разницы катетов:

\[ a = \frac{2S}{b} \]

\[ a - b = \frac{2S}{b} - b \]

Теперь можем сделать подстановку значения площади в уравнение:

\[ a - b = \frac{2 \cdot 135}{b} - b \]

\[ a - b = \frac{270}{b} - b \]

Для нахождения длины большего катета, нам нужно найти значение переменной \( b \), при котором разница \( a - b \) будет максимальной.

Чтобы найти такое значение, можно построить график функции \( f(b) = \frac{270}{b} - b \) и найти точку минимума или максимума. Однако, для данной задачи мы можем использовать аналитический подход.

Для начала продифференцируем функцию \( f(b) \) и найдем ее производную:

\[ f"(b) = -\frac{270}{b^2} - 1 \]

Чтобы найти критические точки, нужно приравнять производную к нулю и решить уравнение:

\[ -\frac{270}{b^2} - 1 = 0 \]

\[ -\frac{270}{b^2} = 1 \]

Умножим обе части уравнения на \( b^2 \):

\[ -270 = b^2 \]

\[ b^2 = -270 \]

Это уравнение не имеет реальных корней, поэтому критических точек нет.

Из этого следует, что функция \( f(b) \) не имеет локального максимума или минимума. Таким образом, значение \( a - b \) будет максимальным при максимальном значении \( a \).

Так как нас интересует длина большего катета, то \( a \) должно быть максимально. В этом случае разница \( a - b \) также будет максимальна.

Поскольку нет ограничений на значении \( b \), попробуем сделать \( b \) очень маленьким. В пределе, когда \( b \) стремится к нулю, значение \( a \) будет стремиться к бесконечности. Следовательно, разница \( a - b \) будет бесконечно большой.

Итак, ответ на задачу: разница между длинами катетов прямоугольного треугольника может быть бесконечно большой, если площадь треугольника составляет 135 м². Длина большего катета будет зависеть от выбранной длины меньшего катета.