1) Какие координаты имеет вершина параболы функции y=x²-6x+5? 2) В каких четвертях находится график функции y=x²-6x+5?

Янгол

51

Конечно, я помогу вам с решением ваших задач. Давайте начнем!

1) Чтобы найти координаты вершины параболы, нужно найти x-координату вершины, используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), а затем подставить эту x-координату в исходное уравнение, чтобы найти соответствующую y-координату.

Уравнение параболы дано в виде: \(y = x^2 - 6x + 5\). Сравнивая его с общим видом уравнения параболы \(y = ax^2 + bx + c\), мы видим, что \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 5\).

Теперь найдем x-координату вершины:
\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]
Теперь подставим x = 3 в исходное уравнение:
\[y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\]

Таким образом, координаты вершины параболы для функции \(y = x^2 - 6x + 5\) равны (3, -4).

2) Чтобы определить в каких четвертях находится график функции, мы должны проанализировать знак коэффициента при каждой степени x в уравнении функции.

В данном случае у нас есть только один член с положительным коэффициентом (1 при \(x^2\)), а все остальные отрицательные коэффициенты (-6x и +5). Значит, график функции будет находиться в верхней части плоскости, и мы имеем дело с параболой, направленной вверх.

Таким образом, график функции \(y = x^2 - 6x + 5\) будет находиться в первой и второй четвертях.

3) Ось симметрии параболы обычно находится посередине между верхней и нижней точками параболы. Чтобы найти ось симметрии, используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). Мы уже рассчитали x-координату вершины в предыдущем вопросе, которая равна 3.

Таким образом, ось симметрии параболы функции \(y = x^2 - 6x + 5\) имеет уравнение \(x = 3\).

4) Для нахождения точек пересечения параболы с осями координат, нужно подставить \(y = 0\) для оси x и \(x = 0\) для оси y в уравнение параболы и решить полученные уравнения.

a) Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим \(y = 0\) в уравнение:
\[0 = x^2 - 6x + 5\]
Решим это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня:
\((x - 1)(x - 5) = 0\)
Отсюда получаем два решения: \(x = 1\) и \(x = 5\).

Таким образом, график функции \(y = x^2 - 6x + 5\) пересекает ось x в точках (1, 0) и (5, 0).

b) Чтобы найти точку пересечения с осью y, подставим \(x = 0\) в уравнение:
\[y = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5\]

Таким образом, график функции \(y = x^2 - 6x + 5\) пересекает ось y в точке (0, 5).

5) Для построения графика функции \(y = x^2 - 6x + 5\) мы можем использовать несколько разных методов.

a) Метод таблицы значений:
Составьте таблицу значений, выберите несколько значений x, вычислите соответствующие значения y и постройте точки на координатной плоскости. Затем соедините точки плавной кривой, чтобы получить график параболы.

x | y
--------------
-2 | 19
-1 | 12
0 | 5
1 | 0
2 | 1
3 | -4
4 | -3
5 | 0

b) Метод оси симметрии и вершины:
Найдите ось симметрии параболы (у нас это \(x = 3\)) и найдите соответствующее значение y для этой точки (у нас это -4). Постройте это значение как вершину параболы. Затем выберите еще несколько точек, симметричных относительно оси x и вычислите соответствующие значения y. Постройте эти точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Таким образом, график функции \(y = x^2 - 6x + 5\) будет выглядеть следующим образом:

\[График параболы\]

6) Чтобы найти значения функции \(f(3)\) и \(f(-5)\) для функции \(y = x^2 - x + 12\), просто подставьте значения x в уравнение и выполните вычисления.

a) Найдем \(f(3)\):
\[f(3) = (3)^2 - (3) + 12 = 9 - 3 + 12 = 18\]

Таким образом, \(f(3) = 18\).

b) Найдем \(f(-5)\):
\[f(-5) = (-5)^2 - (-5) + 12 = 25 + 5 + 12 = 42\]

Таким образом, \(f(-5) = 42\).

Чтобы найти значение k, при котором график функции проходит через точку (k; 6), подставим x = k и y = 6 в уравнение функции и решим полученное уравнение:

\[6 = k^2 - k + 12\]
\[k^2 - k + 6 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, использования квадратного корня или формулы дискриминанта.

7) Чтобы решить задачу о вертикальном броске мяча с начальной скоростью 24 м/с, где расстояние h (в метрах) от мяча до земли в зависимости от времени, нужно знать уравнение свободного падения:

\[h = h_0 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2\]

Где:
h - расстояние от мяча до земли в метрах,
h₀ - начальная высота в метрах (обычно равна нулю),
v₀ - начальная скорость мяча в метрах в секунду (в вашем случае 24 м/с),
t - время в секундах,
g - ускорение свободного падения, принимаемое равным 9,8 м/с².

Используя это уравнение, вы можете находить расстояние h в зависимости от времени t.

Конечно, вы должны указать, на какой момент времени вас интересует расстояние между мячом и землей. Чтобы получить полное решение, пожалуйста, предоставьте информацию о времени t, на котором вы хотели бы найти расстояние h.