На сколько процентов уменьшится площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, если уменьшить длины всех

Магический_Тролль_3352

25

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды и использовать ее для вычисления площадей и сравнения результатов до и после уменьшения ребер.

Формула для площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды выглядит следующим образом:

\[S = A + 4B\]

где \(S\) - площадь поверхности пирамиды, \(A\) - площадь основания пирамиды, а \(B\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Для того чтобы продолжить, нам нужно допустить, что пирамида является правильной. Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата и все боковые грани равны между собой.

Пусть \(a\) - длина ребра исходной пирамиды. Площадь основания пирамиды \(A\) равна \(a^2\). Площадь боковой поверхности пирамиды \(B\) можно найти, зная длину ребра и высоту пирамиды \(h\):

\[B = \frac{1}{2} \times P \times h\]

где \(P\) - периметр основания пирамиды. В случае правильной четырехугольной пирамиды, периметр равен \(4a\). Заметим, что высота пирамиды после уменьшения ребер также уменьшится в 1,4 раза: \(h" = \frac{h}{1,4}\).

Теперь мы можем рассчитать площадь поверхности исходной пирамиды до уменьшения:

\[S = A + 4B = a^2 + 4 \times \left(\frac{1}{2} \times 4a \times h \right) = a^2 + 8ah\]

Аналогично, рассчитаем площадь поверхности пирамиды после уменьшения ребер:

\[S" = (1,4a)^2 + 8 \times 1,4a \times \left( \frac{h}{1,4} \right) = 1,96a^2 + \frac{11,2ah}{1,4}\]

Теперь мы можем вычислить процентное изменение площади поверхности пирамиды после уменьшения ребер. Формула для вычисления процентного изменения выглядит следующим образом:

\[ \% \text{изменения} = \frac{S - S"}{S} \times 100\%\]

Подставим значения и вычислим:

\[\% \text{изменения} = \frac{(a^2 + 8ah) - (1,96a^2 + \frac{11,2ah}{1,4})}{a^2 + 8ah} \times 100\%\]

\[\% \text{изменения} = \frac{a^2 + 8ah - 1,96a^2 - \frac{11,2ah}{1,4}}{a^2 + 8ah} \times 100\%\]

\[\% \text{изменения} = \frac{7,04ah - 0,96a^2}{a^2 + 8ah} \times 100\%\]

Процентное изменение площади поверхности пирамиды после уменьшения ребер равно \(\frac{7,04ah - 0,96a^2}{a^2 + 8ah} \times 100\%\).