Як виразити відстань даної точки до поверхні сфери через її радіус R, знаять, що сфера має дотичну площину і насупись

Sonya

5

Для розв"язання цієї задачі, спочатку потрібно отримати геометричне співвідношення, яке відображає зв"язок між відстанню до поверхні сфери та радіусом.

Давайте позначимо відстань до поверхні сфери як \(d\), а радіус сфери як \(R\). Згідно умови задачі, ми маємо дотичну площину та пряму, яка утворює кут 75° з дотичною площиною. Нехай точка дотику цієї прямої з поверхнею сфери буде \(T\).

Оскільки пряма, яка утворює кут 75° з дотичною площиною, проходить через центр сфери, то промінь, який йде від центру сфери до точки \(T\), є променем насипниці. Позначимо цей промінь як \(OT\).

За властивостями сфери, пряма, яка проходить через центр сфери та точку на її поверхні, є радіусом цієї сфери і перпендикулярна до поверхні сфери. Отже, пряма \(OT\) є радіусом сфери і перпендикулярна до дотичної площини.

Також за властивостями сфери, радіус сфери, промінь насипниці і лінія до точки \(T\) утворюють прямокутний трикутник. Оскільки промінь насипниці є радіусом сфери, його довжина дорівнює \(R\). Кут між променем насипниці \(OT\) і дотичною площиною дорівнює 75°.

За теоремою синусів, відношення сторін прямокутного трикутника до синуса куту дорівнює одній з його катетів.

Застосуємо теорему синусів до трикутника \(OTR\) (де \(OR\) - радіус, \(OT\) - гіпотенуза):

\[\sin(90°) = \frac{d}{R}\]

Оскільки \(\sin(90°) = 1\), отримаємо:

\[1 = \frac{d}{R}\]

Тепер, поділимо обидві частини рівняння на \(R\):

\[\frac{1}{R} = \frac{d}{R^2}\]

За визначенням, \(\frac{1}{R}\) є кількістю одиничних відрізків, які поміщаються на довжину радіусу сфери \(R\), тоді як \(\frac{d}{R^2}\) є кількістю таких відрізків, які поміщаються на довжину радіусу сфери \(R^2\).

Таким чином, ми отримуємо наступну формулу:

\[\frac{1}{R} = \frac{d}{R^2}\]

Тепер, щоб виразити відстань \(d\) від точки до поверхні сфери через радіус \(R\), ми можемо помножити обидві частини рівняння на \(R^2\):

\[R^2 = d\]

Оскільки ми хочемо відобразити відстань через радіус, ми можемо записати округлену відповідь до сотих:

\[d = R^2\]

Таким чином, відстань до поверхні сфери виражається як квадрат радіуса сфери.