На сколько раз нужно увеличить радиус основания конуса, чтобы его объем оставался прежним, если высоту конуса уменьшили

Snezhok

41

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулу для объема конуса, которая выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159, \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

Мы можем представить, что у нас есть исходный конус с радиусом \(r\) и высотой \(h\), и когда высоту конуса уменьшили в 4 раза, она стала равна \(\frac{h}{4}\).

Теперь нам нужно найти, на сколько раз нужно увеличить радиус основания конуса (пусть будет \(k\)), чтобы его объем оставался прежним.

Мы можем записать новую формулу для объема конуса с новым радиусом и высотой:

\[\text{{Новый объем}} = \frac{1}{3} \pi (kr)^2 \left(\frac{h}{4}\right)\]

Нам нужно, чтобы новый объем был равен исходному объему, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{1}{3} \pi (kr)^2 \left(\frac{h}{4}\right) = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Теперь давайте решим это уравнение:

\[\begin{align*}
&\frac{1}{3} \pi (kr)^2 \left(\frac{h}{4}\right) = \frac{1}{3} \pi r^2 h\\
&\frac{k^2}{4} \cdot \frac{h}{4} = 1\\
&\frac{k^2}{16} = 1\\
&k^2 = 16\\
&k = \sqrt{16}\\
&k = 4
\end{align*}\]

Таким образом, нам нужно увеличить радиус основания конуса в 4 раза, чтобы его объем оставался прежним, при условии, что высоту конуса уменьшили в 4 раза.