На сколько раз радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, превышает радиус вписанной в этот

Золотой_Орел

37

На сколько раз радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, превышает радиус вписанной в этот треугольник окружности?

Ответ: 2) в 3 раза.

Обоснование: Для решения этой задачи мы можем использовать свойство равностороннего треугольника, которое гласит, что все его стороны равны, а также свойство описанной окружности, проходящей через вершины треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \(a\). Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, мы можем воспользоваться формулой:
\[R = \frac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\]
где \(R\) - радиус описанной окружности, \(\frac{\pi}{3}\) - угол треугольника.

Рассмотрим теперь радиус вписанной окружности. Для равностороннего треугольника его радиус можно найти по формуле:
\[r = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}\]
где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(\frac{\pi}{6}\) - половина угла треугольника.

Теперь давайте найдем отношение радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, к радиусу вписанной окружности:
\[\frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}}{\frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}}\]
Сокращая, получим:
\[\frac{R}{r} = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\]

Очевидно, что \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим значения и получим:
\[\frac{R}{r} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3} \approx 1.155\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, превышает радиус вписанной в этот треугольник окружности примерно в 1.155 раза. Ответ на задачу - 2) в 3 раза.