Як довести, що діагоналі паралелограма паралельні площині, які паралельні двом сусіднім сторонам паралелограма?

Морозный_Король

17

Для доказательства того, что диагонали параллелограмма параллельны плоскости, параллельной двум соседним сторонам параллелограмма, мы воспользуемся свойством параллелограмма, а именно свойством, которое утверждает, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Давайте обозначим параллелограмм ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а AC и BD - диагонали. Предположим, что плоскость, параллельная сторонам AB и CD, называется плоскостью P.

Чтобы доказать, что диагонали AC и BD параллельны плоскости P, мы должны показать, что линия, пересекающая плоскость P, пересекает диагонали AC и BD, но не проходит через их пересечение.

По свойству параллелограмма, сторона AB параллельна стороне CD. Поскольку плоскость P параллельна сторонам AB и CD, линия, пересекающая плоскость P, будет пересекать стороны AB и CD параллельно.

Рассмотрим точку пересечения диагоналей AC и BD, обозначим ее точкой O. Предположим, что линия, пересекающая плоскость P, пересекает AC в точке M и BD в точке N.

Теперь рассмотрим треугольники AOM и BON. По построению, линия, проходящая через эти две точки, пересекает диагонали AC и BD внутри параллелограмма. Заметим, что треугольники AOM и BON имеют общую сторону MO и BO соответственно, а также равные углы OAM и OBN, так как диагонали AC и BD являются биссектрисами углов параллелограмма.

Из этого можно сделать вывод, что треугольники AOM и BON равны по стороне и по углу. Таким образом, AM = BN и OM = ON. Но это означает, что точки M и N совпадают, то есть линия, пересекающая плоскость P, проходит через точку O - точку пересечения диагоналей AC и BD.

Противоречие! Мы предполагали, что линия, пересекающая плоскость P, пересекает AC и BD, но не проходит через их пересечение. Это не может быть верно, так как мы доказали, что линия проходит через эту точку.

Таким образом, мы можем заключить, что диагонали параллелограмма AC и BD параллельны плоскости P, которая параллельна сторонам AB и CD.