На уроке математики учитель записал несколько различных натуральных чисел на доске. Вася сложил эти числа и поделил

Дмитриевна

3

Пусть исходные числа, записанные на доске, обозначены как \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\).

Первоначально, Вася сложил все числа и поделил полученную сумму на произведение:

\[
\frac{{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}}{{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \ldots \cdot x_n}}
\]

Затем учитель стер наименьшее из этих чисел и записал новую сумму \(S_1\) и новое произведение \(P_1\) оставшихся чисел.

Тогда, после первого шага, у нас есть:

\[
\frac{{S_1}}{{P_1}} = 3 \cdot \frac{{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}}{{x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \ldots \cdot x_n}}
\]

Затем Вася выполнил те же действия с оставшимися числами. Пусть новая сумма после второго шага будет \(S_2\), а новое произведение будет \(P_2\).

Тогда, после второго шага, у нас есть:

\[
\frac{{S_2}}{{P_2}} = 3 \cdot \frac{{S_1}}{{P_1}}
\]

Мы знаем, что результат после второго шага стал в три раза больше предыдущего результата. То есть:

\[
S_2 = 3 \cdot S_1
\]

Заметим, что \(S_1 = (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - \min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n)\).

Подставим это в уравнение выше:

\[
S_2 = 3 \cdot ((x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - \min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n))
\]

Теперь нам нужно понять, какое число стер учитель. Обратим внимание на минимальное число \(\min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n)\).

Если учитель стер минимальное число, то после первого шага будет:
- Сумма: \((x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - \min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n) = S_1\)
- Произведение: \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \ldots \cdot x_n = P_1\)

Тогда после второго шага будет:
- Сумма: \(S_2 = 3 \cdot S_1 = 3 \cdot [(x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - \min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n)]\)
- Произведение: \(P_2 = (x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot \ldots \cdot x_n) - \min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n)\)

Таким образом, для того чтобы \(S_2\) было в три раза больше предыдущего результата, минимальное число \(\min(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n)\) должно быть равно \(\frac{2}{3}\) суммы \(S_1\).

Ответ: Учитель стер число, равное \(\frac{2}{3}\) суммы всех исходных чисел.