На якій відстані від поверхні Землі сила притягання до неї буде у 100 разів слабшою, ніж на самій поверхні Землі?

Акула_2717

46

Для решения данной задачи нам понадобится знание законов гравитационного взаимодействия, сформулированного Исааком Ньютоном. Этот закон гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Теперь подставим известные значения в формулу и решим задачу.

Пусть \( F_1 \) - сила притяжения на поверхности Земли, \( F_2 \) - сила притяжения на расстоянии \( h \) от поверхности Земли, \( d \) - радиус Земли.

Так как сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, то:

\[
\frac{{F_1}}{{F_2}} = \left( \frac{{d}}{{d + h}} \right)^2
\]

Также из условия задачи нам известно, что:

\[
\frac{{F_1}}{{F_2}} = 100
\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[
100 = \left( \frac{{d}}{{d + h}} \right)^2
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
10^4 = \left( \frac{{d}}{{d + h}} \right)^4
\]

Возведем в квадрат обе части равенства еще раз:

\[
100 = \frac{{d^2}}{{(d + h)^2}}
\]

Перемножим обе части уравнения на \((d + h)^2\):

\[
100(d + h)^2 = d^2
\]

Распишем квадрат справа:

\[
100(d^2 + 2dh + h^2) = d^2
\]

Раскроем скобки:

\[
100d^2 + 200dh + 100h^2 = d^2
\]

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[
100d^2 - d^2 + 200dh + 100h^2 = 0
\]

Упростим уравнение, вынесем общий множитель:

\[
99d^2 + 200dh + 100h^2 = 0
\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно переменной \( d \):

\[
\begin{align*}
d &= \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \\
&= \frac{{-200h \pm \sqrt{{(200h)^2 - 4 \cdot 99 \cdot 100h^2}}}}{{2 \cdot 99}} \\
&= \frac{{-200h \pm \sqrt{{40000h^2 - 39600h^2}}}}{{198}} \\
&= \frac{{-200h \pm \sqrt{{400h^2}}}}{{198}} \\
&= \frac{{-200h \pm 20h}}{{198}}
\end{align*}
\]

Теперь найдем два возможных значения для \( d \):

\[
d_1 = \frac{{-200h + 20h}}{{198}} = \frac{{-180h}}{{198}} = -\frac{{90h}}{{99}}
\]

\[
d_2 = \frac{{-200h - 20h}}{{198}} = \frac{{-220h}}{{198}} = -\frac{{110h}}{{99}}
\]

Мы получили два значения для \( d \), отрицательные здесь не имеют физического смысла. Нам нужно найти положительное значение расстояния \( d \), поэтому решение задачи: на расстоянии от поверхности Земли, равном \( \frac{{90h}}{{99}} \), сила притяжения будет в 100 раз слабее, чем на поверхности Земли.